Transcription de la vidéo
On pose 𝑓 de 𝑥 égale un tiers de 𝑥 cube plus deux 𝑥 carré moins 36𝑥 moins 24. Trouvez les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 prime de 𝑥 égale moins quatre.
On nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 qui est un polynôme du troisième degré. Nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 qui rendent 𝑓 prime de 𝑥 égale à moins quatre. Tout d’abord, nous devons rappeler ce que nous entendons par 𝑓 prime de 𝑥. Puisque 𝑓 est une fonction de 𝑥, nous parlons alors de la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥. Nous devons donc dériver notre fonction 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est un polynôme cubique, et nous savons comment dériver les polynômes cubiques. Nous ferons ceci terme par terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation.
Nous rappelons que la règle des puissances pour la dérivation nous dit que pour toutes les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée de 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant 𝑥 puis réduisons cet exposant de un. Nous voulons appliquer ceci terme par terme sur notre fonction 𝑓 de 𝑥. Commençons par le premier terme, notre exposant de 𝑥 est égal à trois.
Nous voulons donc multiplier par l’exposant trois, puis réduire cet exposant de un. Cela nous donne trois fois un tiers multiplié par 𝑥 à la puissance trois moins un. Bien sûr, nous pouvons simplifier cela. Trois multiplié par un tiers est égal à un, et trois moins un dans notre exposant se simplifie pour donner deux. Ainsi, la dérivée de notre premier terme vaut 𝑥 au carré. Passons maintenant à notre deuxième terme. Nous pouvons voir que l’exposant de 𝑥 est égal à deux.
Encore une fois, nous voulons multiplier par l’exposant deux, puis réduire cet exposant de un. Cela nous donne deux fois deux 𝑥 à la puissance deux moins un. Et cela simplifie pour nous donner quatre fois 𝑥 à la puissance un. Et bien sûr, 𝑥 à la puissance un vaut 𝑥. Ainsi, la dérivée de notre deuxième terme vaut quatre 𝑥. Nous allons maintenant dériver notre troisième terme, moins 36𝑥. Cependant, nous pouvons voir qu’il n’est pas écrit sous la forme 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛. Mais nous pouvons l’écrire sous cette forme.
Nous devons nous rappeler que 𝑥 à la puissance un est égal à 𝑥. Nous pouvons donc écrire ceci comme moins 36 fois 𝑥 à la puissance un. Et maintenant, nous pouvons dériver cela en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant un, puis réduisons cet exposant de un. Cela nous donne moins un multiplié par 36𝑥 à la puissance un moins un. Et nous pouvons simplifier toute cette expression en moins 36𝑥 à la puissance zéro. Mais rappelez-vous, tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à un. Nous pouvons donc simplifier pour avoir moins 36.
Enfin, nous voulons trouver la dérivée de la constante moins 24 par rapport à 𝑥. Nous pourrions le faire en écrivant ceci comme moins 24 fois 𝑥 à la puissance zéro car, rappelez-vous, 𝑥 à la puissance zéro est égal à un. Cependant, il est plus facile de le faire en se souvenant que moins 24 est une constante donc elle ne varie pas. Ainsi, sa dérivée par rapport à 𝑥 sera égale à zéro. Par conséquent, nous avons montré que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 36, mais nous n’avons pas terminé. Rappelez-vous, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 qui rendent 𝑓 prime de 𝑥 égale à moins quatre. Nous devrions donc poser cette équation égale à moins quatre.
Nous voulons donc résoudre 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 36 égale moins quatre. Nous ferons cela en ajoutant quatre aux deux membres de notre équation. Cela nous donne 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins 32 égale zéro. Et il y a plusieurs façons de résoudre ceci. Par exemple, nous pourrions utiliser un solveur d’équation du second degré ou la formule du second degré. Nous pourrions également factoriser par inspection en remarquant que huit multiplié par moins quatre est égal à moins 32 et huit plus moins quatre est égal à quatre.
Nous avons donc montré que pour que 𝑓 prime de 𝑥 soit égale à moins quatre, 𝑥 plus huit fois 𝑥 moins quatre doit être égal à zéro. Et si le produit de deux facteurs est égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Par conséquent, 𝑥 plus huit est égal à zéro ou 𝑥 moins quatre est égal à zéro. Nous pouvons résoudre ces deux équations, soit 𝑥 est égal à moins huit, soit 𝑥 est égal à quatre. Et puisque nous avons trouvé une expression pour 𝑓 prime de 𝑥, nous pouvons vérifier ces deux résultats. Nous allons commencer par substituer 𝑥 égale moins huit dans notre expression pour 𝑓 prime de 𝑥.
Nous obtenons 𝑓 prime de moins huit égale moins huit le tout au carré plus quatre fois moins huit moins 36. Et si nous évaluons cette expression, nous voyons que nous obtenons moins quatre. Et nous pouvons faire la même chose lorsque 𝑥 est égal à quatre. Nous obtenons que 𝑓 prime de quatre est égale à quatre au carré plus quatre fois quatre moins 36. Et si nous évaluons cette expression, nous voyons que nous obtenons également moins quatre comme nous l’avions prévu.
Par conséquent, nous avons montré que si la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à un tiers de 𝑥 cube plus deux 𝑥 carré moins 36𝑥 moins 24 et 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins quatre, alors 𝑥 est égal à quatre ou moins huit.
