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Vidéo de question : Calcul de l’expression du taux de variation du volume d’un cube à l’aide des taux de variation liés Mathématiques

Si 𝑉 est le volume d’un cube d’arête 𝑥 se dilatant au cours du temps, déterminez une expression de 𝑑𝑉/𝑑𝑡.

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Transcription de vidéo

Si 𝑉 est le volume d’un cube d’arête 𝑥 se dilatant au cours du temps, déterminez une expression de 𝑑𝑉 sur 𝑑𝑡.

Tout d’abord, regardons les informations données par l’énoncé. Nous savons que 𝑉 est le volume et 𝑥 la longueur des côtés. Ainsi, 𝑉 est égal à 𝑥 au cube. Le volume est donc égal à 𝑥 au cube. En effet, pour déterminer le volume d’un cube, nous prenons le cube de la longueur des côtés. Très bien, nous avons donc notre première expression.

Maintenant, la prochaine étape est de calculer 𝑑𝑉 sur 𝑑𝑥. Il faut donc dériver la valeur obtenue plus haut, à savoir 𝑉 égale 𝑥 au cube. Ainsi, 𝑑𝑉/𝑑𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré. Nous trouvons cette expression en multipliant l’exposant par le coefficient, nous obtenons donc trois fois un, ce qui donne trois. Ensuite, nous diminuons de un l’exposant et nous avons trois moins un égale deux. Nous obtenons donc trois 𝑥 au carré.

Cependant, puisque nous cherchons 𝑑𝑉/𝑑𝑡, nous allons utiliser la formule de la dérivée de fonctions composées, selon laquelle 𝑑𝑦/𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦/𝑑𝑡 multiplié par 𝑑𝑡/𝑑𝑥. Alors, dans notre cas, nous obtiendrons 𝑑𝑉/𝑑𝑡, parce que comme pour 𝑑𝑦/𝑑𝑥, ceci est égal à 𝑑𝑉/𝑑𝑥 multiplié par 𝑑𝑥/𝑑𝑡. En effet, en regardant, les termes 𝑑𝑥 se simplifient, parce qu’il y a un 𝑑𝑥 au numérateur un et 𝑑𝑥 au dénominateur. Nous obtenons donc 𝑑𝑉/𝑑𝑡.

Bien, nous connaissons déjà 𝑑𝑉/𝑑𝑥 depuis l’étape précédente. Seulement, nous ne connaissons pas 𝑑𝑥/𝑑𝑡. Ainsi, 𝑑𝑉/𝑑𝑡, qui représente en pratique la variation du volume du cube au cours du temps, est égal à trois 𝑥 au carré 𝑑𝑥/𝑑𝑡.

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