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Vidéo de question : Déterminer l’équation de la tangente à une courbe définie implicitement en un point donné en utilisant la dérivation implicite Mathématiques

Déterminez la pente de la tangente à la courbe d’équation (5𝑥/2𝑦) - (2𝑦/𝑥) = −4 au point de coordonnées (2, 5).

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Transcription de vidéo

Déterminez la pente de la tangente à la courbe d’équation cinq 𝑥 sur deux 𝑦 moins deux 𝑦 sur 𝑥 est égal à moins quatre au point de coordonnées deux, cinq.

Nous devons rappeler que pour trouver la pente de la tangente à une courbe, nous devons calculer la dérivée de cette fonction en un point donné. Cependant, nous sommes plus habitués à calculer les dérivées de fonctions explicitement définies de 𝑥. Dans notre cas, nous examinons une fonction qui est définie implicitement. Ainsi, nous allons utiliser la dérivation implicite pour calculer la dérivée.

Ce n’est qu’un cas particulier de la règle de dérivation en chaîne. Il est dit que la dérivée d’une fonction dans 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Ainsi, regardons l’équation de notre courbe. Nous avons cinq 𝑥 sur deux 𝑦 moins deux 𝑦 sur 𝑥 est égal à moins quatre. Nous allons simplement commencer par dériver chaque côté de cette équation par rapport à 𝑥.

Nous rappelons que la dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions ou plus est égale à la somme ou à la différence de leurs dérivées respectives. Ainsi, nous allons dériver cinq 𝑥 sur deux 𝑦, deux 𝑦 sur 𝑥 et moins quatre. Bien, en fait, la dérivée d’une constante est zéro. Ainsi, le côté droit devient zéro. Comment pouvons-nous dériver cinq 𝑥 sur deux 𝑦 et deux 𝑦 sur 𝑥 ?

Bien, nous utilisons la règle du quotient. Cela signifie que la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Commençons par regarder la dérivée de cinq 𝑥 sur deux 𝑦. Nous allons poser 𝑢 égale cinq 𝑥, soit le numérateur, et 𝑣 égal à deux 𝑦, soit le dénominateur. Alors, d𝑢 sur d𝑥, la dérivée première de cinq 𝑥, est simplement cinq. Qu’en est-il de d𝑣 sur d𝑥 ?

Selon la formule précédente, qui était juste un cas particulier de la règle de dérivation en chaîne, nous multiplions la dérivée de la fonction par rapport à 𝑦, donc cela donne deux multiplié par d𝑦 sur d𝑥. Ainsi, d𝑣 sur d𝑥 est simplement deux d𝑦 sur d𝑥. Ensuite, la dérivée de cinq 𝑥 sur deux 𝑦 est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥, soit deux 𝑦 fois cinq, moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥, soit cinq 𝑥 fois deux d𝑦 sur d𝑥, le tout sur 𝑣 au carré, soit deux 𝑦 au carré. Si nous simplifions un peu, nous obtenons 10𝑦 moins 10𝑥 d𝑦 sur d𝑥 sur quatre 𝑦 au carré. Alors, nous devrions voir que nous pouvons diviser par un facteur commun de deux. Nous avons trouvé la dérivée de la première partie de notre expression sur le côté gauche. Nous avons cinq 𝑦 moins cinq 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 le tout sur 𝑦 au carré.

Nous allons maintenant répéter ce processus pour la dérivée de deux 𝑦 sur 𝑥. Cette fois, nous posons 𝑢 égal à deux 𝑦 et 𝑣 égal à 𝑥. Bien sûr, nous savons que la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 n’est que un. Nous avons déjà calculé la dérivée de deux 𝑦. Pour rappel, la dérivée de deux 𝑦 par rapport à 𝑥 est deux fois d𝑦 par d𝑥.

Remplaçons tout ce que nous avons dans notre formule par la règle du quotient. Nous obtenons deux 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 moins deux 𝑦 sur 𝑥 au carré. Ainsi, nous constatons que lorsque nous dérivons les deux côtés de notre équation par rapport à 𝑥, nous obtenons cinq 𝑦 moins cinq 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 sur 𝑦 au carré moins deux 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 moins deux 𝑦 sur 𝑥 au carré égale zéro. Qu’allons-nous faire de cela ?

Rappelez-vous, nous essayons de trouver la pente de la tangente, nous devons donc calculer d𝑦 sur d𝑥 en notre point deux, cinq. Le problème est que nous n’avons pas d’expression actuellement pour d𝑦 sur d𝑥. Voyons donc si nous pouvons trouver un moyen de simplifier un peu. Avec nos deux fractions, nous allons diviser chaque partie du numérateur par le dénominateur. Ainsi, nous divisons cinq 𝑦 par 𝑦 au carré pour obtenir cinq sur 𝑦. Nous divisons moins cinq 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 par 𝑦 au carré pour obtenir moins cinq 𝑥 sur 𝑦 au carré d𝑦 sur d𝑥.

De même, nous divisons moins deux 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 par 𝑥 au carré pour obtenir moins deux sur 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 et moins moins deux 𝑦 par 𝑥 au carré pour obtenir plus deux 𝑦 sur 𝑥 au carré. Nous voyons maintenant que nous pouvons factoriser par d𝑦 sur d𝑥. Avec ces termes, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 fois moins cinq 𝑥 sur 𝑦 au carré moins deux sur 𝑥. En même temps, soustrayons cinq sur 𝑦 et deux 𝑦 sur 𝑦 au carré des deux côtés. Nous avons donc cette expression donnée.

Nous devrions maintenant être en mesure de voir que nous pouvons diviser par moins cinq 𝑥 sur 𝑦 au carré moins deux sur 𝑥. Nous pouvons également remarquer que chaque terme a un facteur négatif. Nous allons donc diviser par moins un en même temps. Ainsi, nous avons une expression plutôt peu agréable pour la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Soit cinq sur 𝑦 plus deux 𝑦 sur 𝑥 au carré sur cinq 𝑥 sur 𝑦 au carré plus deux sur 𝑥.

Normalement, nous pourrions chercher à simplifier cela un peu, mais rappelez-vous que nous essayons de trouver la pente de la tangente en un point donné. En fait, il s’agit du point où 𝑥 est égal à deux et 𝑦 est égal à cinq. Utilisons donc 𝑥 est égal à deux et 𝑦 est égal à cinq dans notre expression pour la dérivée.

Le numérateur devient cinq sur cinq plus deux fois cinq sur deux au carré, ce qui se simplifie en un plus cinq sur deux. Ensuite, notre dénominateur est cinq fois deux sur cinq au carré plus deux sur deux, soit deux cinquièmes plus un. Un plus cinq sur deux donne sept sur deux. Deux cinquièmes plus un font sept cinquièmes. Ainsi, nous avons sept sur deux divisé par sept cinquièmes.

Puis, nous pourrions nous rappeler que pour diviser par une fraction, nous multiplions par l’inverse de cette même fraction. Ainsi, cela donne sept sur deux fois cinq-septièmes. Puis, les sept s’annulent, pour obtenir cinq sur deux. Nous avons donc terminé. Nous avons trouvé la pente de la tangente à notre courbe au point deux, cinq. Soit cinq sur deux, ou cinq demis.

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