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Vidéo de question : L’argument du produit de nombres complexes donnés sous forme trigonométrique Mathématiques

Quel est l’argument du produit de 𝑍₁ = 𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) et 𝑍₂ = 𝑠 (cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) ?

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Transcription de vidéo

Quel est l’argument du produit de 𝑍 un égal à 𝑟 multiplié par cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 et 𝑍 deux égal à 𝑠 multiplié par cosinus 𝜑 plus 𝑖 sinus 𝜑 ?

Dans cette question, on nous demande de déterminer l’argument du produit de deux nombres complexes. Et nous pouvons voir que les deux nombres complexes 𝑍 un et 𝑍 deux sont donnés sous forme trigonométrique. Et nous nous souvenons que lorsqu’un nombre complexe est donné sous forme trigonométrique, nous pouvons lire la valeur de son module et de son argument. Par exemple, le module de 𝑍 un est 𝑟 et son argument est 𝜃. De même, le module de 𝑍 deux est 𝑠 et son argument est 𝜑.

Nous voulons utiliser ceci pour déterminer l’argument du produit de ces deux nombres. Et pour ce faire, commençons par rappeler un fait sur la multiplication des nombres complexes donnés sous forme trigonométrique. Nous rappelons que nous pouvons multiplier deux nombres complexes donnés sous forme trigonométrique en multipliant les modules des deux nombres et en additionnant les arguments. Donc 𝑍 un fois 𝑍 deux est 𝑟 multiplié par 𝑠 fois cosinus 𝜃 plus 𝜑 plus 𝑖 sin 𝜃 plus 𝜑. Cela nous donne alors deux résultats utiles. Le module de 𝑍 un fois 𝑍 deux est le produit des modules de 𝑍 un et de 𝑍 deux. C’est 𝑟 multiplié par 𝑠. Et l’argument de 𝑍 un fois 𝑍 deux est la somme des arguments de 𝑍 un et de 𝑍 deux. C’est 𝜃 plus 𝜑. Et c’est ce qu’il nous a été demandé de trouver.

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’argument de 𝑍 un fois 𝑍 deux est la somme des arguments de 𝑍 un et de 𝑍 deux. C’est 𝜃 plus 𝜑.

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