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Vidéo de question : Déterminer la variation de l’accélération gravitationnelle due à une variation de position Physique

Un objet est en orbite autour d’une planète à une distance 𝑟 du centre de masse de la planète. La planète a une masse 𝑀. Si l’objet est déplacé vers une orbite à 3𝑟 du centre de masse de la planète, de quel facteur l’accélération locale due à la gravité à son rayon orbital varie-t-elle ?

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Transcription de vidéo

Un objet est en orbite autour d’une planète à une distance 𝑟 du centre de masse de la planète. La planète a une masse 𝑀. Si l’objet est déplacé vers une orbite à trois 𝑟 du centre de masse de la planète, de quel facteur l’accélération locale due à la gravité à son rayon orbital varie-t-elle ?

Commençons donc par un schéma. Voici un objet en orbite autour de la planète. Et nous savons que la distance entre l’objet et le centre de masse de la planète est une certaine distance 𝑟. Nous déplaçons ensuite cet objet vers une nouvelle orbite, où sa distance du centre de masse de la planète est de trois 𝑟. Nous devons calculer le facteur selon lequel varie l’accélération locale due à la gravité. Rappelons donc l’équation de l’accélération locale due à la gravité. C’est-à-dire, 𝑎 est égal à 𝐺𝑀 sur 𝑟 au carré, où 𝑎 est l’accélération due à la gravité, 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle, 𝑀 est la masse de la planète et 𝑟 est le rayon orbital.

Maintenant, dans cette situation, la masse de la planète ne change pas. La constante gravitationnelle universelle 𝐺 ne varie jamais. Donc, la seule quantité qui varie est le rayon orbital 𝑟. Et 𝑟 est dans le dénominateur de cette fraction, ce qui signifie que lorsque 𝑟 augmente, 𝑎 diminue. Nous savons donc que l’accélération due à la gravité une fois le rayon orbital augmenté sera plus faible. Et nous devons juste calculer de combien.

Commençons donc par l’accélération due à la gravité au rayon orbital d’origine, que nous appellerons 𝑎 indice un. Et cela équivaut à 𝐺𝑀 sur 𝑟 au carré. L’accélération locale due à la gravité après le déplacement de l’objet, que nous appellerons 𝑎 indice deux, est égale à 𝐺𝑀 sur trois 𝑟 au carré. Maintenant, ici, il est utile de rappeler que chaque fois que nous avons deux quantités multipliées ensemble, disons 𝑥 fois 𝑦, le tout au carré, cela équivaut à 𝑥 au carré fois 𝑦 au carré. Donc, ici, nous pouvons dire que 𝑎 indice deux est égal à 𝐺𝑀 divisé par trois fois au carré fois 𝑟 au carré. Et trois au carré est égal à neuf. Nous avons donc 𝑎 indice deux est égal à 𝐺𝑀 sur neuf 𝑟 au carré.

Maintenant, il est utile de noter ici que 𝐺𝑀 sur 𝑟 carré est le même que 𝑎 indice un. Nous pouvons donc isoler le un sur neuf et écrire que 𝑎 indice deux est égal à un divisé par neuf fois 𝐺𝑀 sur 𝑟 au carré. Et 𝐺𝑀 sur 𝑟 au carré est égal à 𝑎 un. Nous avons donc constaté que l’accélération locale due à la gravité à ce point après le déplacement de l’objet est un neuvième de la valeur qu’elle avait avant le déplacement de l’objet. Ainsi, le facteur par lequel l’accélération locale due à la gravité au rayon orbital de l’objet a varié est d’un neuvième.

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