Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment représenter graphiquement des fonctions trigonométriques, telles que sinus, cosinus et tangente, et en déduire les propriétés. Nous allons apprendre comment utiliser des transformations simples pour représenter graphiquement nos fonctions sous cette forme et identifier la relation entre chaque représentation graphique et le cercle unité. Voici un cercle unité. Il s’agit d’un cercle d’un rayon d’une unité, que nous avons tracé avec son centre à l’origine d’un repère cartésien. Ajoutons un point 𝑃, qui peut se déplacer sur le cercle. On peut appeler ses coordonnées 𝑥, 𝑦. Ajoutons ensuite un triangle rectangle à notre diagramme et définissons un angle ici. Ça s’appelle l’angle inclus, et nous allons l’appeler 𝜃.
Pour le moment, nous voyons que la longueur de la base du triangle est de 𝑥 unités, et sa hauteur de 𝑦 unités. On peut utiliser la trigonométrie pour trouver des expressions pour 𝑥 et 𝑦 en termes de 𝜃. Nous utilisons la convention standard pour dénoter les triangles rectangles. Le côté en face de l’angle inclus est le côté opposé. Le côté le plus long, celui qui se trouve en face de l’angle droit, est l’hypoténuse. Et l’autre côté, le côté entre l’angle droit et l’angle inclus, est le côté adjacent. Nous rappelons l’acronyme SOHCAHTOA. Et nous voyons qu’on peut utiliser le rapport cosinus pour trouver un lien entre 𝑥 et 𝜃. On a cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse.
Eh bien, le côté adjacent de notre triangle est 𝑥 unités et l’hypoténuse est une unité, donc cosinus de 𝜃 est 𝑥 sur un ou simplement cosinus de 𝜃 est égal à 𝑥. De même, on utilise le rapport sinus pour relier 𝑦 et 𝜃. Cette fois, le côté opposé est 𝑦 et l’hypoténuse est un. Ainsi, on obtient sinus de 𝜃 est 𝑦 divisé par un, ou simplement sinus de 𝜃 est égal à 𝑦. On peut maintenant dire que le point 𝑃 a pour coordonnées cosinus de 𝜃, sinus de 𝜃. Maintenant, lorsqu’on déplace 𝑃 sur le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, la taille de 𝑥 et 𝑦, et donc la taille de cosinus de 𝜃 et sinus de 𝜃, changent. En fait, ils font quelque chose de vraiment intéressant. Voyons ce que c’est.
Imaginons que notre point se trouve sur l’axe des 𝑥 positif ici. Ici, 𝜃 est égal à zéro. Et le point a pour coordonnées un, zéro. Lorsque 𝜃 est égal à zéro, alors, on voit que cosinus de 𝜃, qui représente 𝑥, est égal à un. Sinus de 𝜃, qui représente 𝑦, est égal à zéro. Nous allons maintenant répéter ce processus ici. Cette fois, 𝜃 est égal à 45 degrés. Et on peut ajouter un triangle rectangle et constater que l’hypoténuse est égale à une unité. Cependant, comme il s’agit d’un triangle rectangle avec un angle de 45 degrés, nous savons en fait qu’il s’agit d’un triangle isocèle. Et donc, nous pouvons dire que ses deux autres côtés sont égaux et mesurent 𝑎 unités.
Le théorème de Pythagore nous dit que la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du plus long. Autrement dit, 𝑎 au carré plus 𝑎 au carré est égal à un au carré ou deux 𝑎 au carré est égal à un. On divise par deux et on obtient 𝑎 au carré est égal à un demi. Ensuite on calcule la racine carrée des deux côtés. Sachant que 𝑎 est une longueur, nous allons dire que c’est la racine carrée positive d’un demi, que nous pouvons écrire comme racine de deux sur deux. Et donc, on voit que lorsque 𝜃 est égal à 45 degrés, notre point a pour coordonnées racine de deux sur deux, racine de deux sur deux. Cela nous dit que sinus de 𝜃 lorsque 𝜃 est égal à 45 degrés est la racine de deux sur deux, tout comme cosinus de 𝜃.
Et qu’en est-il ici ? Eh bien, cette fois 𝜃 est égal à 90 degrés. Et bien sûr, notre cercle a un rayon de un. Donc, ce point a pour coordonnées zéro, un. Et nous voyons alors que lorsque 𝜃 est égal à 90 degrés, cosinus de 𝜃, qui est la valeur de 𝑥, est zéro et sinus de 𝜃, qui est la valeur de 𝑦, est un. On peut répéter ce processus lorsque 𝜃 est égal à 180 degrés. Ici, on a un point avec pour coordonnées moins un, zéro. Donc, lorsque 𝜃 est égal à 180 degrés, cosinus de 𝜃 est moins un et sinus de 𝜃 est zéro. Ensuite, lorsque 𝜃 est égal à 270 degrés, notre point a pour coordonnées zéro, moins un. Donc, sinus de 𝜃 est moins un, rappelez-vous que c’est la coordonnée y, et cosinus de 𝜃 est zéro.
Et puis, si on continue autour du cercle, on constate qu’on revient au départ. Donc, lorsque 𝜃 est égal à 360 degrés, on a les mêmes valeurs pour sinus de 𝜃 et cosinus de 𝜃 que lorsque 𝜃 était égal à zéro. Sinus de 𝜃 est zéro, et cosinus de 𝜃 est un. Complétons le tableau. Ici, 𝜃 est égal à 135 degrés. Si on ajoute un triangle rectangle et on utilise le fait que les angles sur une droite sont de 180 degrés, on voit qu’il y a une réplique du triangle que nous avons précédemment examiné. Il a une hypoténuse d’une unité et un angle inclus de 45 degrés. Cela signifie que les longueurs de ses deux autres côtés doivent être racine de deux sur deux unités. Sous forme de coordonnées, ce point a pour coordonnées moins racine de deux sur deux, racine de deux sur deux. Et donc, lorsque 𝜃 est égal à 135 degrés, cosinus de 𝜃, qui est notre coordonnée 𝑥, est moins racine de deux sur deux, et sinus de 𝜃 est racine de deux sur deux.
Lorsque 𝜃 est égal à 225 degrés, on a une situation similaire. On a un autre triangle isocèle avec une hypoténuse d’une unité et les deux autres côtés d’une longueur de racine de deux sur deux unités. Cela signifie que lorsque 𝜃 est égal à 225 degrés, notre point a pour coordonnées moins racine de deux sur deux, moins racine de deux sur deux, ce qui signifie que sinus de 𝜃 et cosinus de 𝜃 sont moins racine de deux sur deux. Enfin, lorsque 𝜃 est égal à 315 degrés, on a un autre triangle isocèle. Cette fois, les coordonnées de notre point sont racine de deux sur deux et moins racine de deux sur deux, ce qui signifie que lorsque 𝜃 est égal à 315 degrés, sinus de 𝜃 est moins racine de deux sur deux et cosinus de 𝜃 est racine de deux sur deux.
À présent, il devrait être assez clair que si on continue à se déplacer autour de ce cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on obtiendra tous ces points une fois de plus. Donc, lorsque 𝜃 est égal à 405 degrés, sinus de 𝜃 et cosinus de 𝜃 sont les mêmes que lorsque 𝜃 est égal à 45 degrés et ainsi de suite, ce qui nous mène à une définition. On dit que sinus de 𝜃 et cosinus de 𝜃 sont des fonctions périodiques ; c’est-à-dire qu’elles se répètent. Elles le font tous les 360 degrés. Donc, on dit que leur période est de 360 degrés. Esquissons les courbes représentatives. Nous avons vu que les deux courbes oscillent ; c’est-à-dire qu’elles se déplacent entre les valeurs un et moins un. Ce sont leurs maximums et minimums.
Nous allons donc commencer par la courbe de sinus de 𝜃 ou, dans ce cas, 𝑦 égal à sinus de 𝑥. Elle passe par l’origine ; c’est-à-dire, lorsque 𝜃 est égal à zéro, sinus de 𝜃 est égal à zéro. Donc, lorsque 𝑥 est égal à zéro, sinus de 𝑥 est égal à zéro. Ensuite, lorsque 𝑥 est égal à 45, sinus de 𝑥 est égal à racine de deux sur deux. C’est environ ici. Lorsque 𝑥 est égal à 90, sinus de 𝑥 est égal à un. Ensuite, lorsque 𝑥 est égal à 135, sinus de 𝑥 est égal à racine de deux sur deux. Et lorsque 𝑥 est égal à 180, sinus de 𝑥 est égal à zéro. On peut continuer ainsi. Connectons ces points avec une courbe. Et lorsqu’on le fait, on obtient la courbe de 𝑦 égal à sinus de 𝑥 entre les valeurs de zéro et 360 qui ressemble à peu près à ça. Bien sûr, nous avons dit que ces courbes sont périodiques. Elles se répètent, on peut donc continuer ainsi, et reproduire cette courbe exacte tous les 360 degrés.
De même, la courbe de 𝑦 égal à cosinus de 𝑥 dans l’intervalle de zéro à 360 ressemble à ça. Étant donné qu’elle est également périodique, on peut la reproduire de chaque côté. Et donc, pour récapituler quelques caractéristiques de nos courbes, elles sont périodiques ; elles ont une période de 360 degrés. Elles ont toutes deux leur maxima à un et minima à moins un. En fait, les deux sont symétriques. La courbe de 𝑦 égal à cosinus de 𝑥 a une symétrie de réflexion par rapport à la droite 𝑥 égal à 180 ou la droite 𝑥 égal à zéro. La courbe de 𝑦 égal à sinus de 𝑥 a une symétrie de rotation par rapport à l’origine. Mais si on la réduit et on considère, une partie du graphique, c’est-à-dire l’intervalle de zéro à 180, on voit que 𝑦 égal à sinus de 𝑥 a une symétrie par réflexion par rapport à la droite 𝑥 égal à 90 degrés.
Ces caractéristiques peuvent nous aider à résoudre des problèmes impliquant cosinus et sinus de 𝑥. La courbe de 𝑦 égale tangente de 𝑥 est un peu plus étrange que ça. Et au lieu d’utiliser la méthode du cercle unité, nous allons tracer une table de valeurs à l’aide d’une calculatrice. Pour des valeurs 𝜃 de zéro, 45, 90, 135, etc., on obtient la table de valeurs ci-dessous. Notez que nous avons une erreur lorsque 𝜃 est égal à 90 degrés et 𝜃 est égale à 270 degrés. Cela continuera tous les 180 degrés. Mais que se passe-t-il réellement ici ? Eh bien, nous savons que tangente de 𝜃 est égal au côté opposé sur le côté adjacent, mais nous ne pouvons pas réellement tracer un triangle rectangle lorsque 𝜃 est égal à 90 degrés. Et donc, on dit que lorsque 𝜃 tend vers 90 degrés, tangente de 𝜃 tend vers ∞. On ne peut pas évaluer cela, et on représente ce fait avec des asymptotes verticales sur notre graphique.
La courbe de 𝑦 égale tangente de 𝜃 se rapproche de plus en plus de ces asymptotes mais ne les touche jamais. Et donc, le courbe de 𝑦 égal tangente de 𝑥 ressemble à peu près à ça. Encore une fois, on voit que la fonction tangente de 𝜃 est périodique. Mais cette fois, sa période est de 180 degrés. Elle a une symétrie de rotation par rapport à l’origine. Et nous ne pouvons pas définir ses maximums ou minimums car nous avons vu que lorsque 𝜃 tend vers 90 mais aussi tous les 180 degrés de chaque côté de celle-ci, tangente de 𝜃 tend vers ∞.
Il est vraiment important de pouvoir identifier et esquisser les courbes de 𝑦 égal à sinus de 𝑥, 𝑦 égal à cosinus de 𝑥 et 𝑦 égal à tangente de 𝑥. Et nous devons aussi pouvoir les transformer de sorte que pour la courbe de y égal à 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 est une translation par le vecteur moins 𝑎, zéro, tandis que 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑏 est une translation par le vecteur zéro, 𝑏. 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑎 fois 𝑥 est un étirement horizontal par un facteur d’échelle de un sur 𝑎. Et 𝑦 égal à 𝑏 fois 𝑓 de 𝑥 est un étirement vertical par un facteur d’échelle de 𝑏. Ensuite, 𝑦 égal à moins 𝑓 de 𝑥 est une réflexion dans l’axe des 𝑥, et 𝑦 égal à 𝑓 de moins 𝑥 est une réflexion dans l’axe des 𝑦.
Enfin, on mesure parfois les angles en radians de sorte que deux 𝜋 radians est égal à 360 degrés et 𝜋 radians est égal à 180 et ainsi de suite. Ne vous inquiétez pas si vous ne connaissez pas encore ça, c’est juste une autre façon de représenter un angle. Considérons quelques questions sur les représentations graphiques trigonométriques.
Assignez chaque courbe tracée sur le graphique ci-dessous à la fonction qu’elle représente.
Ici, nous voyons que nous avons deux courbes très similaires. Ces courbes sont visiblement périodiques. Elles se répètent tous les deux 𝜋 radians. Retenez qu’elles se répètent tous les 360 degrés. Nous voyons qu’elles ont un maximum à un et un minimum à moins un, respectivement. En fait, nous savons qu’on peut décrire les courbes des fonctions sinus et cosinus de la même manière.
La principale différence est l’endroit où ces courbes croisent l’axe des 𝑦. 𝑦 égal à sinus de 𝑥 traverse l’axe des 𝑦 à zéro, alors que 𝑦 égal à cosinus de 𝑥 traverse à un. Et nous avons dit, bien sûr, que les deux ont une période de 360 degrés ou deux 𝜋 radians, maxima à un et minima à moins un. Cela signifie que la courbe rouge qui traverse l’axe des 𝑦 à un est la courbe cosinus, tandis que la courbe bleue est la courbe sinus.
Maintenant, cela montre en fait une caractéristique vraiment intéressante de ces fonctions. Définissons 𝑓 de 𝑥 comme étant égal à sinus de 𝑥. Alors, nous voyons que la fonction 𝑓 de 𝑥 plus 𝜋 sur deux ou 𝑓 de 𝑥 plus 90, qui représente une translation par le vecteur moins 90, zéro, associe la courbe sinus à la courbe cosinus. Et bien sûr, l’inverse est aussi vrai. Donc, nous avons vu qu’il existe une relation entre les courbes sinus et cosinus par une translation horizontale. Maintenant, considérons un étirement.
Déterminez la valeur maximale de la fonction 𝑓 de 𝜃 égal à 11 sinus de 𝜃.
Tout d’abord, nous allons revoir à quoi ressemble la courbe de 𝑓 de 𝜃 égal à sinus de 𝜃. Elle a ses maxima et minima à un et moins un, respectivement. Nous savons qu’elle passe par l’origine, qu’elle est périodique et qu’elle a une période qui se répète tous les 360 degrés. Donc, la courbe de 𝑓 de 𝜃 égal à sinus de 𝜃 ressemble à peu près à ça. Mais bien sûr, ce qui nous intéresse c’est la courbe de la fonction 𝑓 de 𝜃 égal à 11 sinus de 𝜃.
Et donc, nous rappelons que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 représente un étirement vertical par un facteur d’échelle de 𝑎. Dans ce cas, nous pouvons voir que notre facteur d’échelle est de 11. Et donc, 𝑓 de 𝜃 égal à 11 sinus de 𝜃 ressemble à ceci. Elle coupe toujours les axes des 𝑥 et des 𝑦 aux mêmes endroits, mais maintenant elle va jusqu’à 11 et aussi bas que moins 11. Et donc, la valeur maximale de la fonction 𝑓 de 𝜃 égal à 11 sinus de 𝜃 est 11.
Nous allons maintenant voir une réflexion.
Quel des graphiques ci-dessous représente 𝑦 égal à moins tangente de 𝑥 ?
Commençons par rappeler à quoi ressemble la représentation graphique de 𝑦 égal à tangente de 𝑥. Elle est périodique, et elle se répète tous les 180 degrés. Elle passe par l’origine, le point zéro, zéro. Elle a une asymptote verticale à 𝑥 égale à 90 degrés mais aussi tous les 180 degrés de chaque côté de celle-ci, en d’autres termes, 𝑥 égale à moins 90, 𝑥 égale à 270, et ainsi de suite. En fait, la représentation graphique de 𝑦 égale à tangente de 𝑥 est celle-ci. L’option (A).
Notez que la courbe se rapproche des asymptotes mais ne les touche jamais. Mais bien sûr, ce qui nous intéresse c’est la courbe de 𝑦 égal à moins tangente de 𝑥. Donc, nous rappelons que pour une fonction 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égal à moins 𝑓 de 𝑥 est une réflexion dans l’axe des 𝑥. Et nous voyons que le seul graphique qui correspond à cela est l’option (D). (D) est la courbe de 𝑦 égal à moins tangente de 𝑥.
Dans cette vidéo, nous avons vu à quoi ressemblent les courbes de 𝑦 égal à sinus de 𝑥, 𝑦 égal à cosinus de 𝑥 et 𝑦 égal à tangente de 𝑥. Nous avons vu que les courbes de 𝑦 égal à sinus de 𝑥 et 𝑦 égal à cosinus de 𝑥 sont périodiques ; elles ont une période de 360 degrés, alors que la courbe de 𝑦 égal à tangente de 𝑥 se répète tous les 180 degrés. Enfin, nous avons vu que 𝑦 égal à sinus de 𝑥 et cosinus de 𝑥 ont des maxima et minima à un et moins un, respectivement, alors que la courbe de 𝑦 égal à tangente de 𝑥 a des asymptotes à 𝑥 égal à 90, mais aussi tous les 180 degrés de chaque côté de celle-ci.
