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Vidéo de question : Utiliser les formules de duplication pour déterminer la valeur d’une expression trigonométrique Mathématiques

Calculez (1−tan² (7𝜋/8))/(1+tan² (7𝜋/8)) sans utiliser de calculatrice.

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Transcription de vidéo

Calculez un moins la tangente au carré de sept 𝜋 sur huit, divisé par un plus la tangente au carré de sept 𝜋 sur huit, sans utiliser de calculatrice.

La première chose que nous pouvons remarquer est que la tangente du numérateur et celle du dénominateur ont le même argument, sept 𝜋 sur huit. Pour simplifier nos calculs, notons cette fraction 𝛼. Ainsi, nous pouvons réécrire notre expression sous la forme un moins la tangente au carré de 𝛼 divisé par un plus la tangente au carré de 𝛼.

Rappelons à présent que la tangente d’un angle est égale au sinus de cet angle divisé par le cosinus de cet angle. Si nous élevons les deux côtés au carré, nous avons que la tangente au carré de 𝑥 est égale au sinus au carré de 𝑥 sur le cosinus au carré de 𝑥. Ainsi, dans l’expression que nous cherchons à calculer, nous pouvons remplacer la tangente au carré de 𝛼 par le sinus au carré de 𝛼 sur le cosinus au carré de 𝛼. Puis, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de cette expression par le cosinus au carré de 𝛼. Cela nous donne ce résultat. Il s’avère que nous pouvons utiliser certaines identités trigonométriques pour simplifier le numérateur et le dénominateur de cette fraction.

Au dénominateur, nous pouvons utiliser l’identité pythagoricienne : le sinus au carré d’un angle plus le cosinus au carré de ce même angle est égal à un. Nous en déduisons que notre dénominateur entier est égal à un. Au numérateur, nous pouvons utiliser la formule de duplication de la fonction cosinus. D’après cette formule, le cosinus au carré d’un angle moins le sinus au carré de ce même angle est équivalent au cosinus de deux fois cet angle. Ainsi, nous pouvons simplifier l’expression que nous cherchons à calculer en la réécrivant comme le cosinus de deux 𝛼 sur un, c’est-à-dire le cosinus de deux 𝛼.

Ainsi, nous avons déterminé que notre expression d’origine est égale au cosinus de deux 𝛼, où 𝛼 est sept 𝜋 sur huit. Deux fois 𝛼 est donc égal à sept 𝜋 sur quatre. Nous devons maintenant déterminer la valeur de ce cosinus sans utiliser la calculatrice. Nous pouvons nous aider pour cela du cercle trigonométrique. Sur le cercle trigonométrique, un angle de sept 𝜋 sur quatre ressemble à ceci et si nous voulions faire le tour complet du cercle, nous devrions ajouter un angle de 𝜋 sur quatre.

Rappelons également que dans les premier et quatrième quadrants du cercle trigonométrique, la fonction cosinus est positive. De plus, notre angle de sept 𝜋 sur quatre divise le quatrième quadrant en deux parts égales, donc déterminer le cosinus de sept 𝜋 sur quatre revient à déterminer le cosinus de 𝜋 sur quatre. Cela donne le même résultat dans les deux cas. Un angle de 𝜋 sur quatre radians est un angle de 45 degrés. Nous savons que le cosinus de 45 degrés est égal à un sur la racine carrée de deux. Il s’agit de notre réponse finale. Notons qu’on peut écrire cela de manière équivalente comme la racine carrée de deux sur deux.

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