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Vidéo de question : Trouver la différence entre les courants dans des branches parallèles Physique

Le circuit illustré contient trois résistances. Trouvez la différence entre le courant passant par la résistance de 4,3 Ω et la résistance de 3,9 Ω.

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Transcription de vidéo

Le circuit illustré contient trois résistances. Trouvez la différence entre le courant passant par la résistance de 4,3 ohms et la résistance de 3,9 ohms.

En regardant notre circuit, nous voyons qu’il se compose d’une pile fournissant une différence de potentiel de 7,5 volts, ainsi que de trois résistances. Nous pouvons voir que la borne positive de notre cellule est orientée vers la droite. Et cela signifie que le courant conventionnel dans ce circuit pointera dans le sens des aiguilles d’une montre. Lorsque le courant arrive à ce point de jonction, ici, une partie se déplace vers la résistance de 4,3 ohms. Et une partie du courant continuera à voyager à travers la résistance de 3,9 ohms. Après cela, le courant divisé sera réuni, passera à travers la résistance de 2,7 ohms et se déplacera vers la borne négative de la cellule.

Nous voyons alors que dans ce circuit, les résistances de 4,3 ohms et de 3,9 ohms sont parallèles entre elles. Pour rendre cela plus clair, nous pouvons redessiner notre circuit de cette façon. La question nous demande de déterminer la différence entre le courant passant par les résistances de 4,3 ohms et de 3,9 ohms. Lorsque la charge circule dans le circuit dans le sens des aiguilles d’une montre, lorsqu’elle atteint ce point de jonction, plus de charge circule dans la branche qui a la plus faible résistance. On peut alors dire que dans l’ensemble, le courant dans la résistance de 3,9 ohms sera plus grand que celui dans la résistance de 4,3 ohms.

En fait, mettre deux résistances en parallèle, comme nous le voyons ici, est une méthode courante pour diviser le courant. Il y a une règle, connue sous le nom de règle du diviseur de courant, qui nous indique comment le courant se divise sur deux branches parallèles. Étant donné un courant de circuit total, 𝐼 indice t, et une résistance dans une des branches de 𝑅 indice x et une résistance dans l’autre de 𝑅 indice y, le courant qui traverse la branche avec la résistance 𝑅 indice x, nous appellerons ce courant 𝐼 indice x est donné par cette expression. Le courant dans cette branche particulière est égal au courant total du circuit 𝐼 indice t multiplié par la résistance de l’autre branche parallèle divisée par la somme des résistances des deux branches.

Cette équation permet de confirmer ce que nous avons vu précédemment : plus la résistance dans une branche parallèle est faible, plus il y aura de courant traversant cette branche. Dans ce cas, si la résistance de l’autre branche parallèle 𝑅 indice y est élevée, la charge totale de ce circuit tendra vers l’autre branche de résistance inférieure. Cela entraînera une augmentation du courant dans cette branche, ce que nous avons appelé 𝐼 indice x. L’équation du courant dans l’autre branche parallèle est semblable à la première. Il est égal au courant total, 𝐼 indice t, multiplié par la résistance de l’autre branche parallèle divisée par la somme des résistances des deux branches.

Notez que dans notre scénario, nous connaissons les résistances de ces deux branches, mais nous ne connaissons pas le courant de circuit global 𝐼 indice t. Avant de pouvoir déterminer la différence entre le courant dans ces deux résistances, nous devons connaître ce courant total. Dans notre circuit global, il y a une différence de potentiel totale, un courant total et une résistance équivalente totale. Ces grandeurs sont liées par la loi d’Ohm. Cette loi nous dit que la différence de potentiel totale à travers notre circuit est égale au courant total dans le circuit multiplié par la résistance de circuit équivalente. On nous donne 𝑉, la différence de potentiel totale, comme 7,5 volts.

Pour résoudre 𝐼 alors, nous devrons connaître la résistance totale du circuit équivalent. Nous appellerons cela 𝑅 majuscule. En dégageant de l’espace pour travailler en haut de notre écran, notons que lorsque nous pensons à la résistance totale 𝑅 dans notre circuit, nous devons considérer des résistances qui sont en parallèle, les résistances de 4,3 et 3,9 ohms ainsi qu’une résistance qui est en série avec celles-ci, la résistance de 2,7 ohms. Si nous appelons la résistance efficace de nos deux résistances parallèles 𝑅 indice p, alors l’équation générale de 𝑅 indice p, étant donné exactement deux résistances en parallèle, nous les avons appelées 𝑅 un et 𝑅 deux ici, est donnée par cette expression : 𝑅 un fois 𝑅 deux divisé par la somme de 𝑅 un et 𝑅 deux.

Nous pouvons écrire alors que la résistance équivalente de nos deux résistances en parallèle, 𝑅 indice p, est égale à 4,3 ohms fois 3,9 ohms divisé par 4,3 ohms plus 3,9 ohms. Nous pouvons substituer cette expression à 𝑅 indice p dans notre équation pour la résistance totale du circuit 𝑅 majuscule.

Dans cette expression, la raison pour laquelle nous ajoutons notre résistance parallèle équivalente à une résistance de 2,7 ohms est que, étant donné deux résistances, nous les appellerons 𝑅 un et 𝑅 deux en série, la résistance totale de ces deux ensemble, 𝑅 indice s, est égal à leur somme. Dans notre équation pour la résistance totale du circuit, nous pouvons considérer cette valeur comme une résistance individuelle qui est en série avec la résistance de 2,7 ohms. C’est pourquoi nous additionnons ces deux résistances ensemble. Si nous calculons cette valeur de résistance 𝑅, nous obtenons environ 4,7451 ohms.

Pour en revenir maintenant à l’expression de notre loi d’Ohm, si nous divisons les deux côtés de cette équation par la résistance globale 𝑅, alors le facteur 𝑅 s’annule à droite. Et nous trouvons que 𝑉 divisé par 𝑅 est égal à 𝐼. Ou en inversant l’équation, 𝐼 est égal à 𝑉 divisé par 𝑅. Nous connaissons maintenant les deux valeurs pour 𝑉, c’est-à-dire 7,5 volts, et 𝑅, la résistance totale dans notre circuit, d’environ 4,7451 ohms. Le courant total 𝐼 dans notre circuit est alors égal à cette différence de potentiel divisée par cette résistance. Cette fraction est égale à environ 1,58 ampère. Alors, 1,58 ampère est le courant total dans notre circuit. Et sachant cela, ainsi que les valeurs des résistances en parallèle, nous pouvons calculer le courant à travers la résistance de 3,9 ohms et en soustraire le courant à travers la résistance de 4,3 ohms.

Soit dit en passant, la raison pour laquelle nous soustrayons le courant à travers la résistance de 4,3 ohms du courant à la résistance de 3,9 ohms est parce que nous savons que cette première valeur, le courant à travers la résistance de 3,9 ohms, sera plus grande parce que cette la résistance est inférieure à 4,3 ohms. Cette soustraction donnera un nombre positif.

Alors, tout d’abord, écrivons une expression pour le courant à travers la résistance de 3,9 ohms en utilisant la règle de diviseur de courant ci-dessus. Il est égal au courant total du circuit, 1,58 ampères, multiplié par la résistance de la branche parallèle opposée, 4,3 ohms, divisé par la somme linéaire de la résistance de chaque branche. 3,9 ohms plus 4,3 ohms est égal à 8,2 ohms. Notez que les ohms au numérateur et au dénominateur s’annulent. Et cette partie de notre expression se simplifie à un nombre en ampères.

Il s’agit donc du courant traversant la résistance de 3,9 ohms. Nous sommes intéressés par la différence entre ce courant et celui généré par la résistance de 4,3 ohms. Le courant à travers la résistance de 4,3 ohms est égal à 1,58 ampères multiplié par la résistance de la branche opposée, 3,9 ohms, divisée par la somme des résistances des deux branches. Encore une fois, 3,9 ohms plus 4,3 ohms est 8,2 ohms. Et les ohms s’annulent au numérateur et au dénominateur. Nous avons maintenant une expression complète de la différence entre nos deux courants. Notez que les deux termes de cette expression sont multipliés par 1,58 ampère et divisés par 8,2. Cela signifie que nous pouvons factoriser par cette fraction, 1,58 ampères divisé par 8,2. Elle est multipliée par 4,3 moins 3,9 soit 0,4.

Lorsque nous entrons cette expression sur notre calculatrice, puis arrondissons notre réponse à trois décimales près, nous obtenons 0,077 ampère. Nous notons que ce n’est pas le courant à travers l’une de nos branches parallèles, mais plutôt la différence entre les courants dans ces branches. Cette différence à trois décimales près est de 0,077 ampère.

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