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Vidéo de question : Déterminer la limite en un point d’une fonction composée d’une fonction rationnelle et d’une fonction racine Mathématiques

Calculez lim_(𝑥 → 1) (√(𝑥²+18𝑥−19)/(𝑥²−𝑥)).

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Transcription de vidéo

Calculez la limite quand 𝑥 tend vers un de la racine carrée de 𝑥 au carré plus 18𝑥 moins 19, le tout divisé par 𝑥 au carré moins 𝑥.

On nous demande de déterminer la limite de la racine carrée d’une fonction rationnelle. Nous ne savons pas si nous pouvons utiliser la substitution directe dans un tel cas. Cependant, il est possible de transformer cette limite en une limite de fonction rationnelle en utilisant la propriété de la limite d’une puissance. En effet, pour toute constante 𝑛, la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de la fonction 𝑓 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑛 est égale à la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, le tout à la puissance 𝑛.

Puisque prendre la racine carrée d’une fonction équivaut à l’élever à la puissance un demi, nous pouvons utiliser la propriété de la limite d’une puissance pour réécrire notre limite de la racine carrée de notre fonction rationnelle comme la racine carrée de la limite de notre fonction rationnelle. Ainsi, nous devons maintenant déterminer la limite d’une fonction rationnelle. Nous pouvons essayer de faire cela par substitution directe. Nous obtenons alors la racine carrée de un au carré plus 18 fois un moins 19, le tout divisé par un au carré moins un. En faisant les calculs au numérateur et au dénominateur, nous obtenons la racine carrée de zéro divisée par zéro, ce qui est une forme indéterminée. Ainsi, la substitution directe n’a pas fonctionné sous cette forme.

Cependant, nous pouvons noter que remplacer 𝑥 par un au dénominateur nous a donné zéro. Remplacer 𝑥 par un au numérateur nous a également donné zéro. Alors, d’après le théorème de factorisation des polynômes, 𝑥 moins un est un facteur du numérateur et un facteur du dénominateur. Effaçons notre première tentative de substitution directe et réécrivons notre fonction rationnelle en utilisant le théorème de factorisation des polynômes.

Nous voulons factoriser nos deux polynômes du second degré, celui du numérateur et celui du dénominateur, par 𝑥 moins un. Au numérateur, le terme avec la plus grande puissance est simplement 𝑥 au carré. Ainsi, pour obtenir ce 𝑥 au carré, il faut multiplier notre 𝑥 par 𝑥. Ensuite, le terme constant de notre numérateur est moins 19. Ainsi, pour obtenir ce moins 19, il faut multiplier notre moins un par plus 19. Nous procédons de la même façon au dénominateur. Le terme dominant est 𝑥 au carré. Ainsi, pour retrouver ce 𝑥 au carré, il faut multiplier notre 𝑥 par 𝑥. Puis, nous remarquons que 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 nous permet déjà d’obtenir notre 𝑥 au carré moins 𝑥. Ainsi, la factorisation est complète.

Nous pouvons maintenant annuler le facteur commun 𝑥 moins un au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne la racine carrée de la limite quand 𝑥 tend vers un de 𝑥 plus 19 divisé par 𝑥. La raison pour laquelle cette nouvelle limite est égale à la précédente est que la fonction 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 plus 19, le tout divisé par 𝑥 moins un multiplié par 𝑥, est égale à la fonction 𝑥 plus 19 divisé par 𝑥 en tout point sauf en 𝑥 égale un.

Lorsque nous calculons la limite d’une fonction quand 𝑥 tend vers une certaine valeur, nous nous intéressons à ce qui se passe quand 𝑥 approche de cette valeur, mais pas quand 𝑥 est égal à cette valeur. Ainsi, le fait que ces deux fonctions aient des valeurs différentes en 𝑥 égale un n’a pas d’importance. Nous essayons maintenant déterminer la limite d’une fonction rationnelle. Nous savons que nous pouvons le faire par substitution directe.

Nous rappelons en effet que nous pouvons utiliser la substitution directe pour déterminer la limite de toute fonction rationnelle 𝑓 de 𝑥 dont le dénominateur est différent de zéro en 𝑥 égale 𝑎. Cela nous donne que la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑎. Ainsi, en appliquant la substitution directe, nous obtenons que notre limite est égale à la racine carrée de un plus 19 sur un, ce qui peut se simplifier en la racine carrée de 20, puis en deux fois la racine de cinq. Nous avons donc montré que la limite quand 𝑥 tend vers un de la racine carrée de 𝑥 au carré plus 18𝑥 moins 19 sur 𝑥 au carré moins 𝑥 est égale à deux fois la racine de cinq.

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