Transcription de la vidéo
La figure montre l’échelle d’un ohmmètre utilisé pour mesurer une résistance inconnue. La résistance de l’ohmmètre est de 25 kiloohms. L’angle de déviation maximale de l’ohmmètre 𝜙 est égal à 60 degrés. L’angle de déviation de l’aguille de l’ohmmètre 𝜃 est égal à 54 degrés. Quelle est la valeur de la résistance inconnue? Répondre au kiloohm près.
Notre figure ici nous montre l’échelle de mesure de l’ohmmètre. L’échelle va de zéro, où l’aiguille de mesure est dans cette position, jusqu’à la déviation maximale, où l’aiguille est déplacée d’un angle 𝜙. Même si nous parlons d’un ohmmètre, ce qui est mesuré directement ici est en fait un courant. Cette mesure est effectuée par un appareil appelé galvanomètre. Lorsqu’un galvanomètre est connecté en série avec une résistance fixe et une résistance variable, ces composants fonctionnent ensemble comme un ohmmètre, un dispositif de mesure de la résistance.
L’ohmmètre lui-même a une certaine résistance. Nous appellerons cette résistance 𝑅 indice Ω. Et cette valeur est spécifiquement définie de sorte que lorsque le courant est lu à travers le galvanomètre dans le circuit, l’aiguille de mesure est déviée selon une échelle allant jusqu’à la déviation maximale. Nous appellerons le courant représenté par cette déviation maximale 𝐼 indice 𝐺. Si nous multiplions ce courant maximal mesurable dans le circuit par la résistance de l’ohmmètre, alors la loi d’Ohm nous dit que ce produit est égal à la différence de potentiel à travers le circuit. Nous appellerons cette différence de potentiel 𝑉.
En travaillant à partir de cette équation, si nous divisons les deux membres par 𝐼 indice 𝐺 de sorte que 𝐼 indice 𝐺 se simplifie à droite, nous obtenons une expression pour la résistance de notre ohmmètre. Elle est égale à la tension connue dans notre circuit divisée par le courant mesuré dans le circuit. C’est ainsi que notre galvanomètre qui mesure directement le courant peut être utilisé pour indiquer indirectement une résistance. Bien sûr, un ohmmètre n’est pas conçu pour mesurer sa propre résistance, mais plutôt la résistance d’un autre conducteur ohmique.
L’énoncé du problème nous dit que notre ohmmètre est utilisé pour mesurer une résistance inconnue d’un résistor. Disons que nous représentons cette résistance de cette façon par 𝑅 indice 𝑢 dans notre circuit. Lorsque cette résistance est présente, notre galvanomètre ne lit plus une déviation maximale, mais l’aiguille est maintenant déviée d’un angle 𝜃, inférieur à 𝜙.
Plus précisément, on nous dit que 𝜃 est de 54 degrés, tandis que 𝜙 est de 60 degrés. Disons que nous appelons l’intensité du courant mesuré ici, lorsque notre résistance inconnue fait partie de notre circuit, 𝐼 indice 𝑢. Le rapport de 𝐼 indice 𝑢 sur 𝐼 indice 𝐺 est égal au rapport des angles de 54 degrés sur 60 degrés. C’est parce que nous supposons que notre échelle de mesure est linéaire. Cela signifie, par exemple, que si nous doublons l’intensité du courant dans le circuit, la déviation de l’aiguille de mesure doublera également. Ainsi, 𝐼 indice 𝑢 sur 𝐼 indice 𝐺 est égal à 54 degrés divisé par 60 degrés ou neuf dixièmes.
En faisant de l’espace sur l’écran pour travailler, si nous prenons cette équation pour nos courants et que nous multiplions les deux membres par 𝐼 indice 𝐺, ce qui simplifie ce courant à gauche, alors nous trouvons une expression pour le courant dans notre circuit lorsque la résistance inconnue est présente en termes de courant dans le circuit lorsque cette résistance n’est pas présente. Plus tôt, nous avons fait référence à la loi d’Ohm, qui nous dit que la différence de potentiel à travers un circuit est égale au courant dans le circuit multiplié par la résistance du circuit. À présent appliquons cette loi dans le cas où notre circuit implique tous ces composants.
Nous savons tout d’abord que la différence de potentiel à travers le circuit est 𝑉. Cela ne change pas que notre résistance inconnue soit présente ou non. Le courant dans le circuit avec cette résistance présente est appelé 𝐼 indice 𝑢. Et la résistance totale du circuit est la résistance de l’ohmmètre plus la résistance du conducteur ohmique inconnu. La loi d’Ohm nous dit que cette résistance totale multipliée par ce courant totale dans le circuit est égale à 𝑉. Puisque c’est 𝑅 indice 𝑢 que nous voulons trouver, divisons les deux membres par 𝐼 indice 𝑢, en simplifiant ce courant à droite. Et puis avec l’équation restante, nous allons soustraire 𝑅 indice Ω des deux membres de sorte qu’à droite 𝑅 indice Ω moins 𝑅 indice Ω est égal à zéro.
Puis, enfin, si nous échangeons les membres gauche et droit de cette expression, nous arrivons à une expression en fonction de 𝑅 indice 𝑢. Dans cette équation, nous ne connaissons pas la valeur de 𝑉 et nous ne connaissons pas non plus la valeur de 𝐼 indice 𝑢. Nous savons cependant que 𝐼 indice 𝑢 est égal à neuf dixièmes 𝐼 indice 𝐺. Si nous faisons ce remplacement, cela peut ne pas sembler utile car après tout, nous ne connaissons pas 𝐼 indice 𝐺. Rappelons à ce stade que 𝑅 indice Ω peut être exprimé en fonction de 𝐼 indice 𝐺. C’est égal à 𝑉, la même différence de potentiel avec laquelle nous travaillons ici, divisée par 𝐼 indice 𝐺. Et notons maintenant que dans les deux termes à droite, nous avons 𝑉 divisé par 𝐼 indice 𝐺. Cela signifie que nous pouvons factoriser cette fraction, et cela nous donne cette expression.
Et maintenant, considérant ce premier terme, multiplions son numérateur et son dénominateur par 10. Puisque 10 divisé par 10 est égal à un, nous ne changerons pas la valeur de cette fraction. Mais notons qu’au dénominateur, 10 multiplié par un sur 10 est égal à un, de sorte que la fraction se simplifie en dix neuvièmes. Nous pouvons noter maintenant que un est égal à neuf divisé par neuf. Ainsi, nous constatons que 𝑅 indice 𝑢 est égal à 𝑉 divisé par 𝐼 indice 𝐺 fois un neuvième. Il semblerait que nous ayons avancé. Mais avons réellement progressé? Parce que nous ne connaissons toujours pas 𝑉 ou 𝐼 indice 𝐺.
Nous pouvons maintenant rappeler une fois de plus que 𝑉 divisé par 𝐼 indice 𝐺 est égal à 𝑅 indice Ω. Et nous connaissons la valeur de 𝑅 indice Ω; elle nous est donné. On peut alors remplacer 𝑉 sur 𝐼 indice 𝐺 par 𝑅 indice Ω. Et en faisant un dernier remplacement, nous savons que 𝑅 indice Ω est égal à 25 kilohms. Si nous calculons cette fraction, nous trouvons un résultat de 2,7, suivi de plusieurs décimales, kiloohms. Notre question, cependant, nous demande de donner notre résultat arrondi au kiloohm près. Cela équivaut à trois kiloohms. En se basant sur la façon dont son ajout a affecté la déviation de notre aiguille de l’ohmmètre, la résistance du résistor que nous avons ajouté au circuit est de trois kilohms.
