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Vidéo de question : Déterminer le centre et le rayon d’un cercle en complétant le carré Mathématiques

En complétant le carré, déterminez le centre et le rayon du cercle d’équation 𝑥² + 6𝑥 + 𝑦² - 4𝑦 + 8 = 0.

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Transcription de vidéo

En complétant le carré, déterminez le centre et le rayon du cercle d’équation 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 𝑦 au carré moins quatre 𝑦 plus huit est égal à zéro.

On nous donne l’équation d’un cercle, et nous pouvons voir que c’est donné sous la forme développée. Nous devons déterminer le centre et le rayon de ce cercle. Pour ce faire, rappelons d’où nous obtenons la forme développée de l’équation d’un cercle. La forme standard pour l’équation d’un cercle dont le centre est au point 𝑘, 𝐿 de rayon 𝑟 est 𝑥 moins 𝑘 le tout au carré plus 𝑦 moins 𝐿 le tout au carré est égal à 𝑟 au carré. Donc, si on nous donne un cercle sous cette forme, nous pouvons trouver son centre et son rayon à partir de l’équation.

Sous la forme standard de l’équation d’un cercle, nous développons nos carrés. En développant l’exposant sur notre premier ensemble de parenthèses, que ce soit en utilisant la méthode FOIL ou le développement binomial, nous obtenons 𝑥 au carré moins deux 𝑘𝑥 plus 𝑘 au carré. De même, en développant l’exposant sur notre deuxième ensemble de parenthèses, nous obtenons 𝑦 au carré moins deux 𝐿𝑦 plus 𝐿 au carré. Et bien sûr, toute cette équation est égale à 𝑟 au carré. Mais à ce stade, nous pourrions simplifier. 𝑘 est juste une constante, donc nous pourrions simplement désigner moins deux 𝑘 par 𝑎. De même, 𝐿 est également une constante, nous pourrions donc désigner moins deux 𝐿 par 𝑏. Enfin, nous pouvons combiner les constantes 𝑘 au carré, 𝐿 au carré et 𝑟 au carré en une constante que nous appellerons 𝑐.

Et cela nous donne alors la forme développée de l’équation d’un cercle : 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑦 au carré plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro. Mais on nous donne la forme développée de l’équation d’un cercle, et nous devons revenir à la forme standard de l’équation d’un cercle. Et pour ce faire, nous voyons qu’au lieu de mettre au carré 𝑥, nous voulons mettre au carré 𝑥 moins 𝑘. Et au lieu de mettre au carré 𝑦, nous voulons mettre au carré 𝑦 moins 𝐿. Et c’est exactement ce que nous entendons par compléter le carré. Voyons maintenant comment nous pouvons compléter le carré pour nous aider à passer de l’équation développée d’un cercle à son équation standard.

Rappelez-vous qu’en complétant le carré, nous pouvons écrire l’équation du second degré 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑐 comme 𝑥 plus 𝑎 sur deux le tout au carré moins 𝑎 au carré sur quatre plus 𝑐. C’est parce que si nous développons le carré au membre droit de cette équation, soit en utilisant la méthode FOIL ou le développement binomial, nous obtenons 𝑥 au carré plus deux fois 𝑎 sur deux multiplié par 𝑥 plus 𝑎 au carré sur quatre moins 𝑎 au carré sur quatre plus 𝑐. Et bien sûr, nous pouvons simplifier. Deux divisé par deux est égal à un, et 𝑎 au carré sur quatre moins 𝑎 au carré sur quatre est égal à zéro. Et bien sûr, cela équivaut à notre polynôme du second degré d’origine.

Cependant, nous devons remarquer comment nous avons réécrit notre polynôme. Nous avons 𝑥 plus une constante le tout au carré, puis nous ajoutons une autre constante. C’est exactement la forme dont nous avions besoin pour réécrire notre équation sous la forme standard. Commençons donc maintenant par compléter le carré de l’équation développée d’un cercle qui nous est donnée dans la question. Nous allons commencer par les termes qui contiennent 𝑥. C’est 𝑥 au carré plus six 𝑥. Pour compléter le carré ici, nous devons d’abord diviser notre coefficient de 𝑥 par deux, et nous savons que six divisé par deux est égal à trois. Nous allons donc commencer par 𝑥 plus trois le tout au carré. Mais si nous nous arrêtons ici, lorsque nous développons le carré, nous obtiendrons 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus neuf. Donc, pour équilibrer les deux membres de cette équation, nous devons soustraire une constante, neuf.

Nous allons maintenant faire exactement la même chose avec les termes qui contiennent 𝑦. C’est 𝑦 au carré moins quatre 𝑦. Et nous ferons exactement la même chose que nous avons faite auparavant. Nous devons diviser notre coefficient de 𝑦, qui est moins quatre, par deux. Et, bien sûr, moins quatre divisé par deux est égal à moins deux. Nous allons donc mettre au carré 𝑦 moins deux. Cette fois, si nous développons le carré, nous obtenons 𝑦 au carré moins quatre 𝑦 plus quatre. Donc, pour équilibrer les deux membres de l’équation, nous allons devoir soustraire quatre.

Nous pouvons maintenant utiliser ces deux expressions pour réécrire la forme développée de l’équation d’un cercle sous la forme standard. Tout d’abord, nous avons montré que 𝑥 au carré plus six 𝑥 est égal à 𝑥 plus trois le tout au carré moins neuf. Nous allons donc écrire cela dans notre équation. Nous pouvons faire exactement la même chose avec 𝑦 au carré moins quatre 𝑦. Nous pouvons remplacer cela par 𝑦 moins deux le tout au carré moins quatre. Cela nous donne 𝑥 plus trois au carré moins neuf plus 𝑦 moins deux au carré moins quatre plus huit est égal à zéro. Et maintenant, c’est presque sous la forme développée de l’équation d’un cercle. Nous avons juste besoin de simplifier.

Nous avons moins neuf moins quatre plus huit est égal à moins cinq. Et rappelez-vous, le rayon de notre cercle est écrit dans l’autre membre de notre équation. Nous devons donc ajouter cinq aux deux membres de cette équation. Cela nous donne 𝑥 plus trois au carré plus 𝑦 moins deux au carré est égal à cinq. Et bien sûr, nous savons que notre rayon 𝑟 est généralement au carré. Donc, au lieu d’écrire cinq, nous pourrions écrire la racine carrée de cinq le tout au carré. Et maintenant, cela est exactement écrit sous la forme standard de l’équation d’un cercle. Nous pouvons trouver nos valeurs de 𝑘, 𝐿 et 𝑟.

Nous avons 𝑘 est égal à moins trois, 𝐿 est égal à deux et 𝑟 est égal à la racine carrée de cinq. Et nous savons, grâce à la forme standard de l’équation d’un cercle, que notre cercle a un centre de moins trois, deux et un rayon de racine carrée de cinq. Par conséquent, en complétant le carré deux fois, nous avons pu trouver le centre et le rayon du cercle d’équation 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 𝑦 au carré moins quatre 𝑦 plus huit est égal à zéro. Nous avons trouvé que le centre de ce cercle était moins trois, deux et que le rayon de ce cercle était la racine carrée de cinq.

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