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Vidéo de question : Déterminer la vitesse d’un corps étant donné l’expression de sa hauteur en fonction du temps Mathématiques

Une pierre est lancée verticalement vers le haut. À l’instant 𝑡 secondes, sa hauteur au-dessus du sol est donnée par ℎ = (46,6𝑡 – 4,9𝑡²) m, 𝑡 ≥ 0. Déterminez la vitesse de la pierre lorsqu’il est à 22,5 m du sol.

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Transcription de vidéo

Une pierre est lancée verticalement vers le haut. À l’instant 𝑡 secondes, sa hauteur depuis le sol est donnée par ℎ égale 46,6𝑡 moins 4,9𝑡 carrés mètres, pour 𝑡 supérieur ou égal à zéro. Déterminez la vitesse de la pierre lorsqu’il est à 22,5 mètres du sol.

On nous donne une équation pour ℎ en fonction de 𝑡. ℎ est la hauteur de la pierre au-dessus du sol. En d’autres termes, c’est son déplacement. Eh bien, la question veut que l’on trouve la vitesse de la pierre. On commence par rappeler que si 𝑥 est une fonction du déplacement à l’instant 𝑡, alors le vecteur vitesse 𝑣 est d𝑥 sur d𝑡. C’est le changement du déplacement par rapport au temps. On doit faire attention, cependant. Il y a une différence très subtile entre la vitesse et le vecteur vitesse. Le vecteur vitesse est une quantité vectorielle. Il a une direction et un sens. Par contre la vitesse n’en a pas. La vitesse est la norme du vecteur vitesse.

On peut représenter la norme du vecteur vitesse ou la valeur absolue du vecteur vitesse en utilisant ces barres. Et puis on va commencer par dériver notre expression pour ℎ qui, on l’a dit avant, est simplement le déplacement à partir du sol par rapport à 𝑡. On va faire cela terme par terme. La dérivée de 46,6𝑡 par rapport à 𝑡 est 46,6. Ensuite, lorsque l’on dérive moins 4,9𝑡 au carré, on multiplie le terme par l’exposant, puis on réduit cet exposant d’une unité. On obtient donc moins deux fois 4,9𝑡 ou moins 9,8𝑡.

Ainsi l’on trouve une expression pour dℎ sur d𝑡. C’est 46,6 moins 9,8𝑡. Et cela, en fait, décrit le vecteur vitesse de la pierre à l’instant 𝑡 secondes. Ensuite on veut calculer la vitesse de la pierre lorsqu’il est à une hauteur de 22,5 mètres, en d’autres termes, lorsque ℎ est égal à 22,5. Donc, ce que l’on va faire, c’est calculer la valeur de 𝑡 lorsque ℎ est 22,5. Cela nous indique le ou les temps quand la pierre atteint cette hauteur. Et on peut substituer cette valeur de 𝑡 dans notre fonction du vecteur vitesse. En faisant ℎ égal à 22,5, on obtient une équation du second degré. C’est 22,5 égale 46,6𝑡 moins 4,9𝑡 au carré.

Alors, on a quelques techniques pour résoudre des équations du second degré, mais chacune de ces techniques ne fonctionne que si notre équation elle-même est égale à zéro. Donc, on ajoute 4,9𝑡 au carré des deux côtés et après on soustrait 46,6𝑡. Cela donne comme équation 4,9𝑡 au carré moins 46,6𝑡 plus 22,5 égale zéro. On peut utiliser la formule du second degré en complétant le carré ou l’algorithme d’équations du second degré sur notre calculatrice. Lorsque on le fait, on obtient 𝑡 est égal à neuf et 𝑡 est égal à 0,51 etcetera Donc, cela nous dit que la hauteur de la pierre est de 22,5 mètres à deux moments différents. C’est quand 𝑡 est égal à neuf secondes, mais aussi quand 𝑡 est égal à 0,51 seconde.

Alors, en fait, cela a beaucoup de sens, étant donné la trajectoire de la pierre. La pierre est lancée vers le haut, mais ensuite elle va redescendre. Et donc évidemment, il va avoir deux instants où la hauteur de la pierre est de 22,5 mètres. Elle va être à cette hauteur en montant mais aussi en redescendant. On doit vérifier ce qui se passe avec le vecteur vitesse à ces deux moments. Commençons par calculer le vecteur vitesse de la pierre lorsque 𝑡 est égal à 0,51 etcetera. On fait 𝑡 égal à cette valeur. La norme du vecteur vitesse est donc de 46,6 moins 9,8 fois 0,51. Cela nous donne le vecteur vitesse de 41,6 mètres par seconde.

Et ensuite répétons ce processus lorsque 𝑡 est égal à neuf. On obtient 46,6 moins 9,8 fois neuf, soit moins 41,6 mètres par seconde. Donc, le vecteur vitesse vers le haut est de 41,6 mètres par seconde et vers le bas, c’est bien moins 41,6 mètres par seconde. Bien entendu, c’est négatif car il se déplace dans le sens opposé. On a dit que la vitesse est la norme du vecteur vitesse ou la valeur absolue. Et donc malgré le fait que la pierre se déplace dans une direction différente quand 𝑡 est neuf et quand 𝑡 est 0,51, sa vitesse est simplement de 41,6 mètres par seconde. La vitesse de la pierre est de 41,6 mètres par seconde.

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