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Vidéo de question : primitives de fonctions trigonométriques Mathématiques

Déterminez ∫ −7 sin 4𝑥 d𝑥.

02:05

Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction moins sept fois le sinus de quatre 𝑥 par rapport à 𝑥.

On nous demande de déterminer la primitive d’une fonction trigonométrique. On connaît de nombreuses formules pour calculer les primitives de fonctions trigonométriques. Pour nous aider à calculer celle-ci, rappelons la formule suivante de primitives trigonométrique. Pour toute constante réelle 𝑎 non nulle, la primitive du sinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins cos 𝑎𝑥 divisé par 𝑎 plus une constante d’intégration 𝐶.

On voit que notre primitive est presque déjà sous cette forme. En fait, on peut l’écrire directement sous cette forme. Il suffit de faire passer la constante moins sept en dehors du signe de l’intégrale. On a donc maintenant réécrit la primitive demandée dans la question, c’est moins sept fois la primitive de sin de quatre 𝑥 par rapport à 𝑥. Et on voit que cette primitive est exactement sous la forme voulue. Prenons 𝑎 égale quatre.

En prenant 𝑎 égale quatre et en se rappelant qu’on multiplie la primitive par moins sept, on obtient moins sept fois moins le cosinus de quatre 𝑥 sur quatre plus 𝐶. L’étape suivante est de distribuer le moins sept sur les parenthèses. Le premier terme est moins sept fois moins le cosinus de quatre 𝑥 divisé par quatre. Ça se simplifie pour donner sept sur quatre fois le cosinus de quatre 𝑥. Ensuite, le deuxième terme est moins sept fois 𝐶.

On pourrait laisser la réponse comme ceci, mais rappelons que 𝐶 est une constante d’intégration. Ça veut dire que quand on a appelé cette variable 𝐶, au départ, on aurait pu l’appeler moins 𝐶 divisé par sept. Ensuite, en multipliant par moins sept, on aurait eu moins sept multiplié par moins 𝐶 divisé par sept. Ce qui se simplifie pour donner plus 𝐶. Parfois, vous verrez la constante d’intégration notée 𝑎 puis finalement réécrite 𝐶. Et parfois, cette étape sera complètement ignorée. Peu importe, c’est une question de préférence personnelle.

Donc, on a pu calculer la primitive de moins sept fois le sinus de quatre 𝑥 par rapport à 𝑥, c’est égal à sept sur quatre fois le cosinus de quatre 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶.

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