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Lequel des représentations graphiques ci-dessous correspond à une variation inverse ?
Nous avons quatre graphiques (A), (B), (C) et (D) tracés dans le premier quadrant du plan de coordonnées. Afin de répondre à cette question, nous allons rappeler ce que nous entendons par le terme « variation inverse ». Supposons que nous ayons les variables 𝑦 et 𝑥. Si elles sont inversement proportionnelles l’un à l’autre, ou si elles représentent une variation inverse, nous disons que 𝑦 est proportionnel à un sur 𝑥. L’équation correspondante que nous utilisons pour décrire cette relation est 𝑦 égale 𝑘 sur 𝑥.
Maintenant, bien sûr, 𝑦 pourrait aussi être inversement proportionnel à 𝑥 au carré. Dans ce cas, nous disons que 𝑦 est proportionnel à un sur 𝑥 au carré. L’équation correspondante est 𝑦 égale 𝑘 sur 𝑥 au carré. Cela est également vrai pour 𝑦 inversement proportionnel à la racine carrée de 𝑥, au cube de 𝑥, et ainsi de suite.
Ainsi, essentiellement, nous cherchons à trouver le graphique d’une équation de la forme 𝑦 est égal à 𝑘 sur 𝑥 à la puissance 𝑛 où 𝑛 est un nombre positif. Il y a donc des graphiques que nous pouvons ignorer tout de suite. Le graphique (C) est une droite. Cela signifie que sa forme générale est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. De plus, elle passe par l’origine, le point zéro, zéro, donc, puisque son ordonnée à l’origine est zéro, nous pouvons l’écrire comme 𝑦 égal 𝑚𝑥 ou 𝑦 égal 𝑘𝑥. Il s’agit en fait d’un exemple de deux variables directement proportionnelles l’une à l’autre. Nous pouvons donc éliminer l’option (C).
De même, l’option (D) semble avoir la forme 𝑦 égale 𝑘 fois la racine carrée de 𝑥. En regardant quelques coordonnées ici, par exemple, quatre, deux et un, un, nous pouvons vérifier que ces coordonnées satisfont à cette équation. Ceci est un exemple de 𝑘 étant directement proportionnel à la racine carrée de 𝑥. Ainsi, cela ne représente pas une variation inverse, nous éliminons l’option (D).
De même, l’équation (B) pourrait être de la forme 𝑦 est égal à 𝑘𝑥 au carré. Cela ressemble à un polynôme du second degré. Il s’agit de la symétrie du graphe précédent par rapport à la droite 𝑦 est égal à 𝑥. Encore une fois, il s’agit d’un graphique qui représente une variation directe. 𝑦 varie directement avec 𝑥 au carré, nous pouvons donc éliminer l’option (B).
Il ne reste donc que l’option (A). Cette solution est très logique quand nous pensons à ce que nous savons de la courbe de, disons, 𝑦 égale un sur 𝑥. Elle ressemble à ceci et elle a des asymptotes données par les axes 𝑦 et 𝑥. De même, le graphique de 𝑦 est égal à un sur 𝑥 carré ressemble à ceci. En fait, si nous pensons à la forme de la courbe uniquement dans le premier quadrant, la courbe de 𝑦 égale 𝑘 sur 𝑥 à la puissance 𝑛 pour les valeurs positives de 𝑛 aura toujours cette forme. Ainsi, la réponse est (A). Le graphique (A) représente alors une variation inverse : 𝑦 est inversement proportionnel à une puissance de 𝑥.
