Transcription de la vidéo
Si l’intersection des ensembles de définition des deux fonctions 𝑛 indice un de 𝑥 égale 𝑥 sur 𝑥 carré plus 64 et 𝑛 indice deux de 𝑥 égale moins cinq sur 𝑥 carré plus 11𝑥 moins 𝑏 est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant moins sept, moins quatre, déterminez la valeur de 𝑏.
On nous donne donc l’intersection des ensembles de définition des deux fonctions 𝑛 indice un de 𝑥 et 𝑛 indice deux de 𝑥. Donc, avant d’aller plus loin, regardons chacune de ces fonctions. 𝑛 indice un de 𝑥 et 𝑛 indice deux de 𝑥 sont des fonctions rationnelles. C’est-à-dire que nous avons un quotient de deux polynômes. Et nous savons que le domaine de définition de toute fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels moins les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur.
Donc, ce que nous allons faire, c’est identifier les domaines de définition respectifs de 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux. Pour cela, nous allons déterminer les valeurs qui annulent le dénominateur dans chaque cas. Ce sont les valeurs de 𝑥 que qui ne peuvent pas se trouver dans le domaine de définition de ces fonctions. Ensuite, nous allons utiliser ces informations pour identifier le domaine de définition commun.
Commençons par poser 𝑥 au carré plus 64 égal à zéro. Pour déterminer 𝑥, nous allons commencer par soustraire 64 des deux côtés. Cela nous donne l’équation 𝑥 au carré égale moins 64. La prochaine étape est de prendre à la fois la racine carrée positive et négative de moins 64. Mais nous savons que cela ne nous donne pas une valeur réelle. Il n’y a donc pas de solutions réelles à l’équation 𝑥 au carré plus 64 égale zéro. Et donc l’ensemble de définition de 𝑛 indice un de 𝑥 est en fait simplement l’ensemble des nombres réels. Il n’y a pas de valeurs qui annulent le dénominateur, donc pas de valeurs de 𝑥 à exclure de l’ensemble de définition.
Alors qu’en est-il du domaine de définition de 𝑛 indice deux de 𝑥 ? Encore une fois, c’est l’ensemble des nombres réels, dont nous devons exclure les valeurs de 𝑥 qui annulent l’expression 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 𝑏. Alors, normalement, nous essayons de factoriser le côté gauche ici. Mais 𝑏 est une constante inconnue, nous ne pouvons donc pas le faire.
Considérons plutôt les informations données sur l’intersection des domaines de définition. C’est l’ensemble des valeurs réelles moins l’ensemble contenant moins sept et moins quatre. Nous savons qu’il n’y pas de valeurs interdites pour 𝑛 indice un de 𝑥. Cela signifie donc que si 𝑥 est égal à moins sept ou si 𝑥 est égal à moins quatre, le dénominateur 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 𝑏 est égal à zéro.
Donc, pour déterminer la valeur de 𝑏, cela signifie que 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 𝑏 est égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à moins sept, remplaçons 𝑥 par moins sept. En faisant cela, nous obtenons moins sept au carré plus 11 fois moins sept moins 𝑏 égal à zéro. Le côté gauche se simplifie en moins 28 moins 𝑏. Puis en ajoutant 𝑏 des deux côtés de l’équation, nous obtenons 𝑏 égal à moins 28.
Nous supposons donc que la valeur de 𝑏 qui annule l’expression 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 𝑏, où l’ensemble de définition exclut également 𝑥 égal à moins sept et 𝑥 est à moins quatre, est moins 28. Mais vérifions en remplaçant 𝑥 par moins quatre. Cela fait moins quatre au carré plus 11 fois moins quatre moins 𝑏 égale zéro, ce qui se simplifie encore une fois en moins 28 moins 𝑏 égale zéro, donc 𝑏 est égal à moins 28.
Selon les informations données sur l’intersection des domaines de définition des fonctions, 𝑏 est égal à moins 28.
