Transcription de la vidéo
Laquelle des fonctions suivantes n’est pas égale à sa réciproque ? Est-ce A) 𝑓 de 𝑥 égale moins huit moins 𝑥, B) 𝑓 de 𝑥 égale moins huit sur 𝑥, C) 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥, D) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥, ou E) 𝑓 de 𝑥 égale moins quatre sur 𝑥 ?
Une fonction 𝑓 associe chaque valeur d’entrée à une valeur de sortie. La fonction réciproque de 𝑓 fait le contraire et fournit, pour une valeur de sortie, l’entrée associée. Cette question concerne les fonctions qui sont leurs propres réciproques. Autrement dit, les fonctions 𝑓 dont la fonction réciproque, notée 𝑓 exposant moins un, qui donne l’antécédent de chaque valeur de sortie, est la même fonction 𝑓. On peut donc se débarrasser de cet exposant moins un.
Essayons la fonction A) 𝑓 de 𝑥 égale moins huit moins 𝑥. Quelle est l’image de l’entrée un par cette fonction ? En remplaçant 𝑥 par un, on obtient moins huit moins un, soit moins neuf. Ainsi, l’image de un par la fonction 𝑓 est moins neuf. La fonction 𝑓 ramène-t-elle la sortie moins neuf à l’entrée un ? Ça doit être le cas si 𝑓 est sa propre réciproque. Essayons. 𝑓 de moins neuf est égal à moins huit moins moins neuf, soit un. Donc, 𝑓 ramène la sortie moins neuf à un. Mais il ne suffit pas que 𝑓 ramène une seule sortie à son entrée ; elle doit le faire pour tous les couples d’entrées et de sorties.
Pour une valeur générale 𝑥, son image est moins huit moins 𝑥. Comme pour une valeur numérique, donnons cette sortie à 𝑓 et voyons si nous réobtenons 𝑥. 𝑓 de moins huit moins 𝑥 est égal à moins huit moins moins huit moins 𝑥. Là, nous venons de remplacer le 𝑥 dans la définition de 𝑓 de 𝑥 par moins huit moins 𝑥. En développant les parenthèses, nous obtenons moins huit plus huit plus 𝑥, c’est-à-dire 𝑥. Nous récupérons donc l’entrée 𝑥. Pour tout 𝑥, son image est moins huit moins 𝑥, et en reprenant l’image de ce nombre par 𝑓, on retrouve l’entrée 𝑥. Donc 𝑓 est sa propre réciproque. Ce n’est donc pas la fonction que nous recherchons ; nous cherchons celle qui n’est pas sa propre réciproque.
Testons la proposition B), 𝑓 de 𝑥 est égal à moins huit sur 𝑥. Pour une entrée 𝑥, nous obtenons son image moins huit sur 𝑥. En renvoyant cette sortie dans la fonction, nous obtenons 𝑓 de moins huit sur 𝑥. En remplaçant 𝑥 par moins huit sur 𝑥 dans la définition de 𝑓 de 𝑥, nous obtenons 𝑓 de moins huit sur 𝑥 égale moins huit sur moins huit sur 𝑥. En multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par 𝑥, nous obtenons moins huit 𝑥 sur moins huit, ce qui se simplifie à 𝑥. Une entrée 𝑥 a pour image moins huit sur 𝑥 par la fonction 𝑓. 𝑓 ramène également la valeur moins huit sur 𝑥 à la valeur d’entrée 𝑥. Donc, comme pour la proposition A, on voit que la fonction 𝑓 de 𝑥 de la proposition B est sa propre réciproque.
Petite remarque au passage : inutile de se soucier que 𝑥 sur 𝑥 soit égal à zéro sur zéro, car 𝑥 égale zéro n’appartient pas au domaine de définition.
Passons à la proposition C) 𝑓 de 𝑥 est égal à huit 𝑥. Ainsi, une valeur 𝑥 a pour image huit 𝑥. Quelle est l’image par 𝑓 de huit 𝑥 ? C’est huit fois huit 𝑥, c’est-à-dire 64𝑥. Ce n’est pas la valeur 𝑥 que nous avions au début. Faisons un exemple concret, prenons 𝑥 égale un. L’image de un par la fonction 𝑓 donne une sortie de huit, et la fonction réciproque prendrait une entrée huit et récupérerait la valeur un. La fonction réciproque ramènerait la sortie huit à l’entrée un. Mais on voit que 𝑓 de huit égale huit fois huit, soit 64. La réciproque de 𝑓 n’est donc pas la même fonction 𝑓. Pour cette fonction, 𝑓 n’est pas sa propre réciproque. Voilà donc la réponse à la question. La fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 n’est pas sa propre réciproque.
En cherchant un peu, vous verrez que pour la proposition C, la réciproque de 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 sur huit. Il reste à vérifier rapidement que les fonctions des propositions D et E sont leurs propres réciproques. Une entrée 𝑥 donne une sortie 𝑥. Et en calculant l’image de cette sortie 𝑥 par la fonction 𝑓, on récupère cette entrée. La fonction D est donc sa propre réciproque. Ensuite, la méthode pour montrer que la fonction E est sa propre réciproque est exactement le même que pour la fonction B, mais avec quatre au lieu de huit.
On en conclut donc que parmi les cinq fonctions proposées, la seule fonction qui n’est pas sa propre réciproque est la fonction C), 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥.
