Transcription de la vidéo
Un nuage de gaz a une pression de 220 kilopascals et une température de 440 kelvin. Le gaz contient 8,2 moles d’une particule avec une masse molaire de 10,5 grammes par mole. Trouvez le volume du nuage. Utilisez 8,31 mètres carrés kilogramme par seconde carrée kelvin mole pour la valeur de la constante des gaz parfaits. Donnez votre réponse à deux décimales près.
Alors, dans cette question, on nous demande de trouver le volume d’un nuage de gaz. Pour nous aider à résoudre ce problème, nous avons reçu d’autres informations sur le nuage de gaz, notamment sa pression, sa température, le nombre de moles de gaz et la masse molaire des particules de gaz. Annotons la pression avec 𝑃 majuscule, la température avec 𝑇 majuscule, le nombre de moles avec 𝑛 et la masse molaire avec 𝑀 majuscule. On nous donne également une valeur à utiliser pour la constante des gaz parfaits, et nous donnons à cette constante le symbole 𝑅 majuscule. La dernière grandeur à laquelle nous devons donner un nom est le volume du nuage de gaz, et c’est ce que nous voulons déterminer. Alors nommons ce volume 𝑉 majuscule.
Pour répondre à cette question, rappelons une formule connue sous le nom de loi des gaz parfaits. Cette loi dit que la pression 𝑃 d’un gaz multipliée par son volume 𝑉 est égale à 𝑛, le nombre de moles, multiplié par la constante des gaz parfait 𝑅 multipliée par la température du gaz 𝑇. Dans cette équation, nous connaissons la valeur de la pression 𝑃. Nous connaissons également le nombre de moles 𝑛 du gaz. Nous avons une valeur pour la constante des gaz parfaits 𝑅. Et nous connaissons la température du gaz. 𝑇. Nous pouvons alors voir qu’il n’y a qu’une seule grandeur inconnue dans cette équation, et c’est le volume 𝑉 du gaz, qui est ce que nous voulons déterminer dans cette question. On peut donc réorganiser cette équation afin de faire du volume 𝑉 le sujet. Et donc si nous insérons nos valeurs pour 𝑃, 𝑛, 𝑅 et 𝑇, nous pourrons calculer le volume de ce nuage de gaz.
Il convient de noter brièvement que cette équation implique la pression, le volume, le nombre de moles, la constante des gaz parfaits et la température du gaz. Cependant, cela n’implique pas la masse molaire du gaz. Cela signifie que nous n’aurons pas besoin d’utiliser cette valeur de masse molaire, 𝑀 majuscule, afin de répondre à cette question. Pour calculer le volume d’un nuage de gaz, il suffit de connaître sa pression, sa température et le nombre de moles de gaz, ainsi que notre valeur pour la constante des gaz parfaits. Maintenant, nous avons dit que la première étape consiste à faire de 𝑉 le sujet de l’équation de la loi des gaz parfaits. Pour ce faire, nous divisons les deux côtés de l’équation par la pression du gaz 𝑃.
Ensuite, nous pouvons voir que sur le côté gauche de l’équation, le 𝑃 au numérateur s’annule avec le 𝑃 au dénominateur. Cela nous laisse avec une équation qui dit que 𝑉 est égal à 𝑛 fois 𝑅 fois 𝑇 divisé par 𝑃. Maintenant, avant de continuer et d’insérer des valeurs dans la partie droite de cette équation, nous devrions prendre un moment pour réfléchir aux unités de ces grandeurs. Au numérateur de la fraction, nous avons l’unité de 𝑛, qui est la mole, multipliée par l’unité de la constante des gaz parfaits 𝑅, qui est le mètre carré kilogramme par seconde carrée kelvin mole, multiplié par l’unité de température 𝑇, qui est le kelvin. Nous pouvons voir que les moles s’annulent au numérateur et au dénominateur, de même que les kelvin.
Cela nous laisse avec des unités globales pour le numérateur sur le côté droit que nous pouvons écrire comme étant kilogrammes mètres carrés par seconde au carré. Au dénominateur à droite, nous avons seulement la pression. Maintenant, on nous a donné une valeur de pression en kilopascals. Mais l’unité SI de la pression est le pascals. Puisque la pression est définie comme la force par unité de surface, où la force a pour unités SI les newtons et la surface a pour unités SI le mètre carré, alors nous pouvons voir que les pascals doivent être équivalents aux newtons par mètre carré.
Ensuite, nous pouvons également rappeler la deuxième loi de Newton sur le mouvement qui nous dit que la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. L’unité SI de masse est le kilogramme et l’unité SI de l’accélération est le mètre par seconde au carré. Cela signifie alors que les newtons doivent être égaux aux kilogrammes mètres par seconde au carré.
Si nous remplaçons ensuite les newtons dans cette expression pour les unités de pascals par cette expression ici, nous obtenons cette expression ici pour les unités de pascals. Nous pouvons écrire cette expression plus proprement comme ceci. Et puis nous voyons que nous pouvons annuler un facteur de mètres au numérateur et au dénominateur. Nous avons alors que les pascals correspondent à des kilogrammes par mètre seconde carrée. Globalement, alors, à droite de cette équation, nous avons des kilogrammes mètres carrés par seconde carrée au numérateur. Et si nous mesurons la pression 𝑃 en pascals, alors le dénominateur est en kilogrammes par mètre seconde carrée.
Les unités à droite de l’équation doivent être égales aux unités du numérateur divisées par les unités du dénominateur. Maintenant, nous voyons que nous pouvons annuler les kilogrammes et le par seconde carrée. Cela nous laisse avec des mètres carrés divisés par un sur des mètres. Cela peut s’écrire plus simplement comme étant des mètres cubes, que nous pouvons ensuite reconnaître comme unité SI pour le volume. Le résultat de toute cette discussion sur les unités est que si nous utilisons les grandeurs 𝑛, 𝑅 et 𝑇 sur le côté droit de cette expression avec les unités dans lesquelles elles nous ont été données, alors afin de calculer un volume 𝑉 en mètres cubes, nous aurons besoin d’une pression 𝑃 en pascals.
Pour convertir notre valeur de pression des kilopascals en pascals, nous pouvons rappeler qu’un kilopascal est égal à 1000 pascals. Cela signifie que pour convertir une valeur de kilopascals en pascals, nous la multiplions par 1000. Donc, en pascals, la pression 𝑃 est égale à 220 multiplié par 1000 pascals. Cela correspond à une pression de 220000 pascals. Alors maintenant que nous avons une valeur pour la pression en pascals, nous savons que si nous insérons cette valeur avec nos valeurs pour 𝑛, 𝑅 et 𝑇 dans les unités dans lesquelles elles sont données pour cette équation, alors nous calculerons un volume 𝑉 en mètres cubes. Laissons de l’espace sur l’écran pour pouvoir le faire.
Nous avons ici cette équation pour le volume 𝑉 du nuage de gaz en fonction des grandeurs 𝑛, 𝑅, 𝑇 et 𝑃. En substituant nos valeurs pour ces grandeurs dans leurs unités SI, nous obtenons cette expression pour le volume 𝑉. Au numérateur, nous avons 8,2, qui est la valeur de 𝑛 en moles, multipliée par 8,31, qui est la valeur de 𝑅 en mètres carrés kilogrammes par seconde carrée kelvin mole, multipliée par 440, qui est la valeur de la température 𝑇 en kelvin. Ensuite, au dénominateur de la fraction, nous avons 220000, qui est la valeur de la pression 𝑃 en pascals. Notez que dans cette expression, nous n’avons pas écrit toutes ces unités individuelles, mais nous avons simplement écrit les mètres cubes que nous savons que le volume 𝑉 aura.
Nous pouvons alors évaluer cette expression en la tapant sur une calculatrice. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que 𝑉 est égal à 0,136284 mètres cubes. Cependant, il faut se rappeler qu’on nous demande de donner notre réponse à deux décimales près. Pour ce faire, nous regardons la valeur de la troisième décimale, qui dans ce cas est six. Puisque cette valeur est supérieure ou égale à cinq, la valeur de la deuxième décimale est arrondie à l’excès. L’arrondi à ce nombre nous donne alors la réponse à la question : à deux décimales près, le volume du nuage de gaz est égal à 0,14 mètre cube.
