Transcription de la vidéo
Dans un atelier, deux ouvriers produisent deux types de bureaux en fer : le type 𝐴 et le type 𝐵. L’un des ouvriers fabrique les bureaux et l’autre les peint au pistolet. Il faut au premier ouvrier 4 heures pour fabriquer un bureau de type 𝐴 et 3 heures pour fabriquer un bureau de type 𝐵. Il faut au second ouvrier 3 heures pour peindre un bureau de type 𝐴 et 4 heures pour peindre un bureau de type 𝐵. La première personne travaille au moins 5 heures par jour, et l’autre au maximum 7 heures par jour. Si l’atelier réalise un bénéfice de 60 LE pour chaque bureau (de l’un ou l’autre type), alors déterminez la fonction objectif et les inéquations nécessaires pour calculer le nombre de bureaux de chaque type à produire chaque jour pour maximiser le profit 𝑃.
Ceci est un exemple de problème de programmation linéaire. On nous demande de construire la fonction objectif. Il s’agit d’une fonction affine des variables, que l’on utile pour optimiser la solution. Dans cette question, elle sera utilisée pour maximiser le profit 𝑃.
Dans tout problème de la vie réelle, il y a des restrictions ou des contraintes, telles que le temps et l’argent. On les exprime avec un ensemble d’inéquations. Nous commencerons par définir 𝑥 comme le nombre de meubles de type 𝐴 produits et 𝑦 le nombre de meubles de type 𝐵 produits chaque jour. Puisque le nombre de meuble de chaque type ne peut pas être négatif, nos deux premières inéquations sont 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et 𝑦 est supérieur ou égal à zéro.
On nous dit que le premier ouvrier qui fabrique les meubles prend quatre heures pour finir un meuble de type 𝐴 et trois heures pour finir un meuble de type 𝐵. Nous pouvons écrire le temps total qu’il passe chaque jour à fabriquer des meubles comme quatre 𝑥 plus trois 𝑦. On nous dit qu’il travaille au moins cinq heures par jour. Cela signifie que quatre 𝑥 plus trois 𝑦 doit être supérieur ou égal à cinq. Le deuxième ouvrier prend trois heures pour peindre un meuble de type 𝐴 et quatre heures pour peindre un meuble de type 𝐵. Nous pouvons exprimer le temps total qu’il passe à travailler chaque jour comme trois 𝑥 plus quatre 𝑦. Puisqu’il ne travaille pas pendant plus de sept heures par jour, cette expression doit être inférieure ou égale à sept.
Nous avons maintenant un ensemble de quatre inéquations ou contraintes. 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. 𝑦 est supérieur ou égal à zéro. Quatre 𝑥 plus trois 𝑦 est supérieur ou égal à cinq. Trois 𝑥 plus quatre 𝑦 est inférieur ou égal à sept. Notre dernière étape consiste à déterminer la fonction objectif qui nous aidera à maximiser le profit 𝑃.
On nous dit que l’atelier réalise un bénéfice de 60 livres égyptiennes sur chaque meuble. Par conséquent, le profit 𝑃 est égal à 60𝑥 plus 60𝑦. Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous pourrions calculer le profit maximum en représentant graphiquement les quatre inéquations sur le même repère. Cela créerait une région réalisable. Nous savons que la solution optimale est à l’un des sommets de la région réalisable.
