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Vidéo de question : Résoudre une inéquation du second degré en utilisant la factorisation et la représentation graphique Mathématiques

Résolvez 𝑥² − 𝑥 − 6 < 0.

03:38

Transcription de vidéo

Résolvez 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six est inférieur strictement à zéro.

Donc, pour résoudre cette inéquation, ce que nous allons faire d’abord c’est trouver les valeurs critiques. Et pour ce faire, je vais transformer notre inéquation en une équation. Ce que je vais donc faire, c’est que je vais poser 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six égal zéro. Ce que nous devons donc faire ici, c’est résoudre cette équation du second degré. Et ce que cela va nous donner, ce sont les deux points où la courbe de notre fonction du second degré croise l’axe des 𝑥.

Et la façon de résoudre cette équation du second degré est d’utiliser la factorisation. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons que 𝑥 moins trois multiplié par 𝑥 plus deux est égal à zéro. Et c’est parce que si nous cherchons les deux nombres dont le produit est moins six, alors ce seront moins trois et plus deux. Nous aurions pu en avoir d’autres, nous aurions pu avoir moins six multiplié par un ou six multiplié par moins un ou même moins deux multiplié par trois.

Cependant, leur somme devra être égale à moins un. Et ceci parce que moins un est le coefficient de notre terme en 𝑥. Eh bien, moins six plus un est moins cinq. Six plus moins un est cinq. Ou moins deux plus trois est un. Donc, aucun de ceux-ci ne donne moins un comme résultat. Par conséquent, les facteurs corrects sont ceux que nous avons trouvés, à savoir moins trois et deux. Et c’est parce que si vous ajoutez deux à moins trois, vous obtenez moins un.

Maintenant que la factorisation est faite, nous pouvons donc dire que notre valeur critique va être 𝑥 égal trois ou 𝑥 égal moins deux. Et nous les avons obtenues en posant chacune des parenthèses égale à zéro. Et c’est parce que nous avons besoin que l’une des parenthèses soit égale à zéro car zéro multiplié par n’importe quelle valeur donne zéro comme résultat, et c’est ça ce qu’on cherche. Un exemple de ceci et que je montre, est la parenthèse de droite pour laquelle nous avons que 𝑥 plus deux est égal à zéro. Ensuite, soustrayez deux de chaque membre. Nous obtenons 𝑥 égal moins deux, ce qui est conforme à ce que nous avions.

Très bien, nous avons maintenant nos valeurs critiques. Mais que faire ensuite ? Comment pouvons-nous résoudre notre inéquation ? Eh bien, si nous représentons graphiquement notre fonction du second degré, alors nous avons des points en moins deux et trois où elle croise l’axe des 𝑥 car il s’agit de nos solutions ou nos valeurs critiques. Et nous savons que la courbe est une parabole en forme de U car le coefficient de notre terme en 𝑥 au carré est positif. Et s’il est positif, c’est une parabole en forme de U. S’il est négatif, alors c’est une parabole en forme de n ou de U inversé.

Maintenant, pour résoudre l’inéquation, nous devons regarder son signe. Et ce qui nous intéresse, c’est lorsque 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six est inférieur strictement à zéro. Donc, par conséquent, nous nous intéressons à cette région-ci, qui est la région en dessous de l’axe des 𝑥 et donc où 𝑦 est inférieur à zéro. Nous pouvons donc dire que les inégalités qui représenteraient cela sont telles que 𝑥 est supérieur à moins deux mais inférieur à trois.

Et si nous voulons écrire ceci en utilisant la notation d’intervalle, nous aurons un crochet ouvert, moins deux, point-virgule, trois et un crochet ouvert. Et nous utilisons des crochets ouverts parce que ceux-ci montrent que les nombres moins deux et trois ne sont pas inclus. Et c’est parce que 𝑥 est strictement à moins deux et inférieur strictement à trois. Si on incluait ces valeurs, nous aurions donc que 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux ou inférieur ou égal à trois et dans ce cas au lieu des cochets ouvert, nous utiliserions des crochets fermés.

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