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Vidéo de question : Simplifier les expressions logarithmiques à l’aide des lois des logarithmes Mathématiques

Simplifiez l’expression log₃ 16 × log₂ 243.

02:10

Transcription de vidéo

Simplifiez l’expression log 16 en base trois multiplié par log 243 en base deux.

Comme les bases de nos deux termes sont différentes, dans ce cas, trois et deux, notre première étape ici est de réécrire 16 et 243 sous forme de puissance. 16 est égal à deux à la puissance quatre car deux multiplié par deux multiplié par deux multiplié par deux est égal à 16. 243 est égal à trois à la puissance cinq. Nous pouvons donc réécrire l’expression sous la forme de log de deux à la puissance quatre avec une base trois multiplié par log de trois à la puissance cinq avec une base de deux.

L’une de nos lois sur les logarithmes stipule que log de 𝑥 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑛 multiplié par log de 𝑥. Notre expression se simplifie alors en quatre log de deux en base trois multiplié par cinq log de trois en base deux. À ce stade, nous remarquons que notre premier terme est log de deux en base trois et notre deuxième terme est log de trois en base deux.

Une autre loi de nos lois de logarithmes stipule que log de 𝑦 en base 𝑥 multiplié par log de 𝑥 en base 𝑦 est égal à un. C’est parce que log de 𝑥 en base 𝑦 est l’inverse de log 𝑦 en base 𝑥. Notre expression peut donc se simplifier en quatre multiplié par cinq puisque log de deux en base trois multiplié par log de trois en base deux est égal à un. Quatre multiplié par cinq est égal à 20.

Cela signifie que log de 16 en base trois multiplié par log de 243 en base deux est égal à 20.

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