Vidéo : Ordre des opérations : évaluer des expressions numériques

Nous travaillons à travers une série d’exemples afin d’expliquer comment appliquer les règles de l’ordre des opérations pour évaluer de manière cohérente les expressions arithmétiques telles que 11 − 10 / 5 ∗ 4 + 9. Nous utilisons l’acronyme PEMDAS pour nous aider à nous souvenir de l’ordre.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner l’ordre des opérations et nous allons utiliser un système appelé PEMDAS. Vous avez peut-être entendu parler du BODMAS ou du BIDMAS, mais nous utilisons le PEMDAS.

Lorsque vous avez des expressions compliquées à évaluer, PEMDAS vous aidera à décider quelles parties faire en premier, quelles parties faire en second, et ainsi de suite. Nous allons donc passer en revue les règles, puis nous allons voir quelques exemples. La première lettre de la liste est P, pour parenthèses. Et en fait, il s’agit de parenthèses ou de regroupement.

Par exemple, quand vous avez des parenthèses, comme trois plus cinq. Vous pouvez aussi avoir des crochets, quatre moins deux. Ou vous pouvez avoir une fraction où le numérateur implique un regroupement ; vous devez garder ensemble le trois et le six, donc c’est un regroupement implicite. Ainsi, par exemple, nous avons une expression comme celle-ci : cinq plus trois entre parenthèses, puis fois six. Donc, nous devons d’abord évaluer cinq plus trois, et cinq plus trois font évidemment huit. Et lorsque nous avons évalué ce qu’il y a entre les parenthèses, nous pouvons évidemment les éliminer. Cela a donc donné huit fois six, soit quarante-huit.

Un autre exemple est donc cinq plus trois le tout sur deux. Cela signifie cinq plus trois divisé par deux. Mais comme le cinq plus trois est le numérateur, cela implique que nous devons faire cela d’abord ; c’est regroupé. C’est donc presque comme si nous avions des parenthèses autour du numérateur. Donc, en faisant cela en premier, nous nous retrouvons avec huit sur deux. Évidemment, huit sur deux, nous n’avons plus besoin de la parenthèse. Et ce huit sur deux signifie vraiment huit divisé par deux, et huit divisé par deux est quatre. Encore un exemple : trois plus deux entre parenthèses fois sept moins deux entre parenthèses. Puisque P est en haut de la liste, donc il faut d’abord évaluer les parenthèses. Mais nous en avons deux, alors que faire ? Nous commençons par la gauche, puis calculons celle qui est à droite. On commence par la gauche, puis on fait la droite. Et trois plus deux font cinq, donc c’est la même chose que cinq fois sept moins deux. Nous pouvons maintenant évaluer les parenthèses de droite. Et sept moins deux font cinq, donc nous avons cinq fois cinq, ce qui fait vingt-cinq.

Il est donc important de se rappeler qu’avec le PEMDAS, si deux termes différents sont tous deux entourés de parenthèses, alors vous travaillez de gauche à droite. Nous avons donc fait celui-ci en premier, puis nous avons fait celui-ci. Maintenant E, les exposants. Par exemple, 𝑥 au carré, 𝑥 à la puissance deux. Et après avoir évalué les parenthèses, vous devez évaluer vos exposants, et faire attention à n’appliquer les exposants qu’à leurs bases. Voyons quelques exemples. Deux plus trois au carré. Il y a des parenthèses, alors nous devons d’abord les évaluer. Et deux plus trois est égal à cinq, donc c’est égal à cinq au carré, ce qui signifie cinq fois cinq, ce qui nous donne une réponse de vingt-cinq.

Mais si nous avions commencé avec seulement deux plus trois au carré sans aucune parenthèse ? Eh bien, pas de parenthèses, rien à faire là. Nous passons maintenant à nos exposants. Nous devons donc évaluer trois au carré, ce qui correspond à trois fois trois, soit neuf, et deux plus neuf font onze. Il est donc important de voir que cet exposant ne s’applique qu’à cette base, le trois, et non à l’ensemble du deux plus trois. Il aurait fallu des parenthèses pour que cela se produise. Ok, et pour celui-là, le moins trois au carré ? Eh bien, il n’y a pas de parenthèses, donc il ne faut pas s’en inquiéter. Ce qui suit sur la liste c’est l’exposant, donc on doit calculer trois au carré. Qu’en est-il du signe moins devant le trois ici ? Cela peut être interprété soit comme moins un fois trois au carré, soit comme enlever trois au carré, juste moins trois au carré. Dans les deux cas, il s’agit soit d’une multiplication, soit d’une soustraction ; ils viennent après les exposants sur la liste. Donc, tout d’abord, nous devons calculer juste le trois au carré. Trois au carré, c’est neuf, donc nous avons le moins neuf. Voilà donc notre réponse : moins neuf. Certains d’entre vous se sont peut-être dit : « Attendez ! moins trois au carré c’est moins trois fois moins trois. Ça aurait dû être plus neuf !» Mais de la façon dont nous l’avons écrit, nous n’avons pas écrit moins trois le tout au carré, nous avons juste écrit moins trois au carré. Maintenant, si nous avions écrit moins trois entre parenthèses, alors c’est l’ensemble de ces parenthèses qui sont au carré. Cela signifie donc moins trois fois moins trois, et c’est neuf. Il faut donc vraiment faire attention à ce que l’on fait avec ces parenthèses.

L’élément suivant sur la liste est la multiplication ou la division. Là encore, il est très important de se rappeler que ces deux méthodes ont le même niveau de priorité : la multiplication ou la division ; elles ont toutes deux le même niveau de priorité dans cette liste. Mais vous devez calculer de gauche à droite tout au long de l’expression que vous essayez d’évaluer. Par exemple, quinze divisé par cinq fois deux. Le fait que le M précède le D dans PEMDAS ne signifie pas que vous devez toujours faire la multiplication en premier. Vous travaillez de gauche à droite, vous vous souvenez ? Ils ont la même priorité, donc nous allons d’abord calculer quinze divisé par cinq, ce qui fait trois, donc trois fois deux. Et maintenant nous n’avons qu’une seule chose à faire, trois fois deux, soit six. Regardons donc celui-là : deux fois trois plus quatre fois cinq. Il n’y a pas de parenthèses, pas d’exposants, mais nous avons deux multiplications, donc nous allons travailler de gauche à droite. Tout d’abord, nous allons faire celle-là. Et deux fois trois font six, donc ça se traduit par six plus quatre fois cinq. Et puis nous allons faire celui-ci, et quatre fois cinq font vingt, donc nous avons six plus vingt, ce qui fait vingt-six.

Et le dernier élément sur la liste, l’addition ou la soustraction. Encore une fois, les deux ont la même priorité dans cette liste, donc il suffit de travailler de gauche à droite à travers l’expression. Par exemple, un plus deux moins trois. On a une addition et on a une soustraction. Nous allons donc travailler de gauche à droite à travers cette expression. Un plus deux est trois, donc nous avons trois moins trois. Et trois moins trois est zéro, ce qui est notre réponse. Regardons alors une autre expression : cinq moins deux plus trois. Nous avons une soustraction et une addition. Ce n’est pas parce que c’est écrit AS dans PEMDAS qu’il faut d’abord faire l’addition ; nous devons travailler de gauche à droite à travers cette expression. Donc, tout d’abord, nous allons faire le cinq moins deux, c’est-à-dire trois. Nous avons donc trois plus trois. Maintenant, nous pouvons simplement ajouter trois et trois pour obtenir six. Maintenant, nous avons dit que si vous avez l’addition et la soustraction, elles ont toutes les deux la même priorité, donc vous travaillez de gauche à droite. Mais en mettant des parenthèses autour des deux termes de droite dans l’expression, nous pouvons obliger les gens à les faire en premier. Ces parenthèses signifient donc que nous allons regarder à l’intérieur ici ; nous allons faire ce deux plus trois avant de passer à l’élimination du cinq. Eh bien deux plus trois font cinq, donc cinq moins cinq, ce qui fait zéro.

Voyons maintenant quelques exemples généraux. Onze moins dix divisé par cinq fois quatre plus trois au carré. Nous n’avons pas de parenthèses, donc nous n’avons rien à faire là-haut. Des exposants ? Oui, nous avons des exposants, donc nous ferions mieux de les faire en premier. Et trois au carré égale neuf, donc nous avons maintenant onze moins dix divisé par cinq fois quatre plus neuf. Alors, on a une multiplication ou une division ? Oui, nous en avons, donc nous ferions mieux de faire ça ensuite. Nous avons une division et une multiplication. Et nous devons travailler de gauche à droite, donc je vais d’abord faire la division, et ensuite nous allons faire la multiplication. Donc dix divisé par cinq est deux, donc nous avons onze moins deux fois quatre plus neuf. Maintenant, nous allons faire la multiplication deux fois quatre. Donc, nous avons onze moins deux fois quatre, donc onze moins huit, et nous avons plus neuf à la fin. Nous avons donc fait le P et le E et le M et le D, donc maintenant nous allons faire l’addition et la soustraction. Et encore une fois, nous allons aller de gauche à droite. Donc, d’abord, nous allons faire celle-ci, et ensuite nous allons faire celle-là. Et onze moins huit est trois, donc nous avons trois plus neuf, ce qui égale douze.

Voyons un autre exemple : quatre fois, ouvrez la parenthèse, deux fois deux, fermez la parenthèse, divisé par quatre fois, ouvrez la parenthèse, deux plus deux, fermez la parenthèse. Nous avons donc deux parenthèses ; je vais d’abord évaluer celle de gauche, puis celle de droite. Et deux fois deux font quatre, ce qui nous laisse quatre fois quatre divisé par quatre fois deux plus deux. Donc, en évaluant cette deuxième parenthèse, nous obtenons quatre fois quatre divisé par quatre fois quatre. Nous avons donc fait les parenthèses. Il n’y a pas d’exposant, donc nous passons maintenant à la multiplication et à la division. Maintenant qu’elles ont la même priorité, il nous suffit de travailler de gauche à droite. Donc d’abord on va calculer celle-là, puis on va faire celle-là, et puis celui-là. Nous avons donc comme réponse seize.

Il convient maintenant de noter qu’il y a une erreur commune qu’on fait toujours. Beaucoup de gens lorsqu’ils remarquent les parenthèses ici, ils disent, « Oh, évaluons l’ensemble de cette partie », et puis ils voient ces parenthèses ici et évaluent l’ensemble de cette partie. Ils disent donc que deux fois deux font quatre fois quatre font seize et que deux plus deux font quatre fois quatre font seize. Ils font donc seize divisé par seize, et ils obtiennent la réponse un. C’est faux ! Ce travail de gauche à droite est donc une règle importante. Maintenant, si nous avions voulu que la réponse soit égale à un, il aurait fallu mettre une parenthèse autour de l’ensemble de cette première expression et une parenthèse autour de l’ensemble de cette expression ici. Cela nous aurait donc obligés à calculer d’abord les parenthèses à l’intérieur des parenthèses, puis la parenthèse de gauche, puis les parenthèses à l’intérieur de cette parenthèse d’abord, puis celle-là. Cela nous aurait obligés à avoir seize divisé par seize égale un.

Bon, regardons celui-là alors. Nous avons cinq moins deux plus trois au carré moins trois moins six au carré divisés par deux. Nous devons donc d’abord évaluer les parenthèses. Et en regardant à l’intérieur, nous n’avons que des additions et des soustractions, donc nous allons travailler de gauche à droite à l’intérieur de cette première parenthèse. Donc, tout d’abord, nous avons cinq moins deux, ce qui fait trois, donc ça devient trois plus trois. Maintenant, nous avons trois plus trois est égal à six, donc nous avons six au carré moins trois moins six au carré divisé par deux. Voilà pour nos parenthèses. Ensuite, nous cherchons les exposants. Et nous en avons deux : celui-ci et celui-là. Donc, en évaluant d’abord celui de gauche, cela devient trente-six. Et maintenant, en évaluant le deuxième, ça fait aussi six au carré. Donc ça fait aussi trente-six. Eh bien, plus d’exposants, donc nous passons maintenant à la multiplication et à la division. Eh bien, il n’y a pas de multiplication mais il y a une division : trente-six divisé par deux, ça fait dix-huit. Il ne nous reste donc plus qu’à faire des additions et des soustractions, en fait seulement des soustractions. Donc nous avons trente-six, trois, huit, donc nous faisons le premier en premier. Trente-six, trois, c’est trente-trois, et trente-trois, dix-huit, c’est quinze, ce qui est notre réponse.

Maintenant, regardez cet exemple, nous avons deux séries de parenthèses : une intérieure et une extérieure. Nous allons donc d’abord évaluer la parenthèse intérieure. Et à l’intérieur, nous avons vingt-cinq divisé par cinq, moins deux, donc nous avons une division et une soustraction. Donc, en regardant le PEMDAS, nous devons faire la division avant la soustraction. Il semble donc que la première chose que nous ayons faite ait été d’évaluer une division et c’est tout en bas de la liste, après les parenthèses. Mais souvenez-vous, nous travaillons sur la parenthèse intérieure, donc vingt-cinq divisé par cinq, c’est cinq. Nous devons donc maintenant évaluer cinq moins deux ; ils sont à nouveau entre parenthèses. Et cinq moins deux font trois, de sorte que dans notre parenthèse, ici, il s’agit de trois au carré. Il nous reste donc une parenthèse, et nous devons donc l’évaluer. Donc c’est le tout de trois au carré moins un le tout au carré. Je dois donc d’abord évaluer la parenthèse, trois au carré moins un. Donc, à l’intérieur de cette parenthèse, nous devons d’abord faire le trois au carré parce que c’est un exposant, et ensuite nous allons soustraire un parce que la soustraction vient après les exposants. Donc, trois au carré, c’est neuf, et neuf moins un, c’est huit. Cet ensemble de parenthèses s’est donc évalué à huit, et il nous reste donc huit au carré, soit soixante-quatre. Donc si vous avez plusieurs parenthèses, si vous avez des parenthèses entre parenthèses, vous devez d’abord les évaluer. Et parce qu’à l’intérieur des parenthèses, vous pouvez avoir des expressions assez compliquées en elles-mêmes, la première opération que vous effectuez dans un calcul peut être une multiplication, une division, une addition ou même une soustraction. Vous devez évaluer le contenu des parenthèses avant de passer à l’évaluation des autres parties de l’expression.

Bon, voyons un dernier exemple alors. Celui-là est assez compliqué. En ce qui concerne les parenthèses, nous avons deux séries de parenthèses, ce qui nous permet d’évaluer la parenthèse de gauche en premier. Et dix moins cinq nous donne cinq. En fait, il y a une paire de parenthèses implicites ici ; ce trait ici en une fraction qui divise le numérateur du dénominateur implique un regroupement de tout ce qui est au numérateur. On peut donc dire qu’il y a des parenthèses implicites à cet endroit. Je vais donc les évaluer ensuite. J’ai donc cinq au carré plus cinq ; je vais d’abord calculer le carré, puis je vais ajouter le cinq. Et vingt-cinq plus cinq font trente. Donc, c’est fait avec les parenthèses. Je peux maintenant évaluer cette expression ici, donc moins deux le tout au carré signifie moins deux fois moins deux, ce qui est plus quatre. J’ai donc terminé avec les parenthèses, je peux maintenant chercher les exposants, et il y en a un ici : deux au carré. Deux au carré c’est quatre, donc c’est tout pour les parenthèses et les exposants. Maintenant, c’est la multiplication et la division. J’ai une division implicite ici : trente divisé par six, ce qui fait cinq. Il ne me reste donc plus qu’à faire des additions et des soustractions. Je vais travailler à partir de la gauche, donc je vais d’abord faire cinq plus quatre et ensuite je vais soustraire quatre. Donc cinq plus quatre font neuf, et neuf moins quatre donne cinq. Nous avons envisagé un certain nombre d’exemples à ce sujet. J’espère que cela vous donne assez de compréhension du PEMDAS pour pouvoir évaluer n’importe quelle expression que vous voyez.

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