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Vidéo de la leçon : Transformation des Fonctions Trigonométriques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer une translation ou une dilatation à une fonction trigonométrique, et à déterminer l’expression d’une fonction trigonométrique étant donnée la transformation.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer une translation ou une dilatation à une fonction trigonométrique, et à déterminer l’expression d’une fonction trigonométrique étant donnée la transformation. Donc, ce que vous serez capable de faire après cette leçon, c’est trouver les coordonnées d’un point sur une courbe trigonométrique après qu’elle a été transformée. On va également pouvoir translater la courbe représentative de la fonction trigonométrique dans les directions des axes des 𝑥 et 𝑦. Et on va également dilater la courbe représentative d’une fonction trigonométrique.

Donc, la première chose à retenir est à quoi ressemblent nos courbes trigonométriques. Et on peut voir cela sur cette première page, on a les courbes de 𝑦 égal à tangente de 𝑥, 𝑦 égal à sinus de 𝑥 et 𝑦 égal à cosinus de 𝑥. On doit s’en souvenir lorsqu’on va progresser et examiner les problèmes de cette leçon.

Maintenant, avant de passer à quelques questions, rappelons d’abord comment effectuer des transformations de graphiques. On va donc se rappeler comment transformer les graphiques. Rappelons-nous, ce qu’on examine dans cette leçon sont les translations et les dilatations. Si on commence par les translations, eh bien, on a 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 ou 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Mais en quoi sont-ils différents ?

Eh bien, tout d’abord, si on considère 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎, eh bien, il s’agit en fait d’un décalage de la courbe de moins 𝑎 suivant l’axe des 𝑥. Donc, cela signifie en pratique que si on prend les coordonnées 𝑥 de notre première translation, alors on devrait en soustraire 𝑎 pour obtenir la translation. Pour la deuxième translation, on considère les coordonnées y et on leur additionne 𝑎.

Maintenant, il y a une autre astuce pour se souvenir des translations et de toute transformation en général. Si la transformation se déroule à l’intérieur des parenthèses, alors elle impliquera l’axe des 𝑥. Et on fait le contraire de ce qu’on pourrait penser. Dans ce cas, au lieu d’additionner 𝑎 comme indiqué, on soustrait 𝑎. Cependant, si elle se situe hors des parenthèses, elle impliquera l’axe des 𝑦. Et nous faisons ce que nous attendons. Donc, ici, on additionne 𝑎 comme nous l’avons dit. On additionne 𝑎 aux coordonnées 𝑦.

Maintenant, lorsqu’on examine les courbes trigonométriques, le décalage suivant l’axe des 𝑥 est appelé déphasage et le décalage suivant l’axe des 𝑦 est appelé décalage vertical. Eh bien, voici un exemple rapide. Alors, si on a la courbe en rose de 𝑦 est égal à cos de 𝑥 ou cosinus de 𝑥, eh bien, si on la décale de 90 degrés vers la droite, donc 90 degrés suivant l’axe des 𝑥, alors ce qu’on va obtenir c’est la courbe de 𝑦 est égal à cos. Ensuite, on a 𝑥 moins 90 car comme on a dit que ça sera entre les parenthèses parce qu’il s’agit de l’axe des 𝑥. Et étant donné qu’on a additionné 90, alors on va soustraire 90. Et cela nous donne notre translation.

Donc, en fait, ce qu’on a fait, c’est qu’on a eu un déphasage de 90 degrés suivant l’axe des 𝑥. Mais on peut également voir que ce déphasage signifie en fait que notre courbe de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥 est devenue la courbe 𝑦 est égal à sinus de 𝑥.

Très bien, alors on passe maintenant aux dilatations. Alors, pour les dilatations, on a 𝑓 de 𝑎𝑥 est une dilatation parallèle à l’axe des 𝑥 avec un facteur d’échelle de un sur 𝑎 et 𝑎𝑓 de 𝑥 est une dilatation parallèle à l’axe des 𝑦 avec un facteur d’échelle de 𝑎. Donc, encore une fois, on peut voir que lorsqu’on regarde l’axe des 𝑥, cela fait le contraire de qu’on pourrait s’attendre. Donc, au lieu de multiplier par le nombre, on divise car le facteur d’échelle est un sur 𝑎, alors qu’avec l’axe des 𝑦, on multiplie par 𝑎.

Donc, en pratique, cela signifie que si on considère la première dilatation, on doit diviser chacune de nos coordonnées 𝑥 par 𝑎. Et il s’agit alors d’un changement dans la période de notre courbe trigonométrique. Et la période d’une courbe trigonométrique est la distance entre les pics ou d’un point quelconque au point de correspondance suivant, alors que si on considère la deuxième dilatation, alors ce qu’on fait en pratique est de multiplier les coordonnées 𝑦 par 𝑎. Et ce que cela produit, c’est un changement dans l’amplitude de notre courbe. Et l’amplitude est la hauteur entre l’axe central et le sommet ou le creux. Ou on peut mesurer la hauteur du point le plus élevé au point le plus bas et la diviser par deux.

Alors maintenant, jetons un coup d’œil à un exemple de dilatation. Donc, ici, on a 𝑦 est égal à sinus de 𝑥. Alors, ce qu’on a tracé est 𝑦 est égal à sinus de deux 𝑥. Et nous pouvons voir ici que chacune des coordonnées 𝑥 est en fait divisée par deux. Et par conséquent, nous pouvons également voir que notre période est divisée par deux parce que la période de notre première fonction, qui était 𝑦 égale sin 𝑥, est de 360 degrés. Et on peut constater que la distance d’un creux à un autre est de 360 degrés ou d’un point au point de correspondance suivant est de 360 degrés, alors que si on regarde la courbe bleue, 𝑦 est égal à sinus de deux 𝑥, et donc la distance entre nos sommets est de 180 degrés.

Très bien, on s’est donc rappelé de ce qu’est la transformation des graphiques pour les courbes trigonométriques. Passons à présent à la résolution de quelques problèmes.

La figure représente la courbe de 𝑓 de 𝑥. Une transformation associe 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de 𝑥 moins trois. Déterminez les coordonnées de 𝐴 après cette transformation.

Donc, si on a une transformation qui associe 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de 𝑥 moins trois, alors la transformation qu’on examine sera en fait un décalage ou une translation. Et si on rappelle rapidement nos translations, alors on a 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 est un décalage de 𝑎 suivant l’axe des 𝑦, alors que 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 est un décalage de moins 𝑎 suivant l’axe des 𝑥.

Donc, ce que nous avons là est notre première translation ou notre premier décalage. Et cela est un décalage de 𝑎 suivant l’axe des 𝑦. Donc, on appelle ça un décalage vertical. Eh bien, 𝑎 dans notre scénario est moins trois. Donc, ce qui signifie en pratique, soustraire trois de la coordonnée 𝑦 de notre point. Donc, en fait, on peut voir que le point 𝐴 va décaler de trois unités vers le bas dans l’axe des 𝑦. Donc, on peut dire que les coordonnées de 𝐴 après la transformation seront 45, moins deux.

Très bien, maintenant, voyons un autre exemple. Alors, dans l’exemple suivant, on va utiliser la transformation qu’on a examinée plus tôt dans l’introduction. Cependant, on va se concentrer sur un point particulier au cours de cette transformation.

La figure représente la courbe de 𝑓 de 𝑥. Une transformation associe 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de deux 𝑥. Déterminez les coordonnées de 𝐴 après cette transformation.

Eh bien, ce qu’on remarque dans ce problème est une transformation qui associe 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de deux 𝑥. Donc, en fait, ce qu’on constate est une dilatation. Eh bien, rappelons-nous des dilatations, alors on sait que 𝑎𝑓 de 𝑥 est une dilatation parallèle à l’axe des 𝑦 avec un facteur d’échelle de 𝑎 et 𝑓 de 𝑎𝑥 est une dilatation parallèle à l’axe des 𝑥 avec un facteur d’échelle de un sur 𝑎. On peut donc voir que, en fait, il s’agit du deuxième scénario car il s’agit d’une dilatation parallèle à l’axe des 𝑥 car on a 𝑓 de deux 𝑥. Eh bien, étant donné qu’on a 𝑓 de deux 𝑥, on peut voir que le facteur d’échelle sera en fait un demi. Donc, cela signifie en pratique que chacune de nos coordonnées 𝑥 sera divisée par deux.

Alors, ce qu’on a fait ici c’est en fait décrire à quoi cela ressemblerait sur le graphique. Par conséquent, on peut dire que les coordonnées de 𝐴 après la transformation vont être 90, moins un. On peut voir cela comme le point correspondant sur notre graphique. Ou on aurait pu le trouver en divisant la coordonnée 𝑥 par deux, comme nous l’avons dit, lorsqu’on divise 180 par deux, on obtient notre 90, 90, moins un.

Très bien, maintenant, on va passer à un exemple dans lequel on a des graphiques et on doit choisir lequel correspond à la transformation de l’une de nos fonctions trigonométriques.

Quel des graphiques ci-dessous représente 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥 moins 90 ?

Eh bien, tout d’abord, rappelons-nous à quoi ressemble la courbe de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Et on peut la voir ici. Voici donc la forme de notre courbe. Maintenant, on peut voir qu’on recherche 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥 moins 90. Et on a une translation ou un décalage de la courbe 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Et ceci parce qu’on peut la considérer comme la transformation 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎, où ce type de translation est un décalage de moins 𝑎 unités suivant l’axe des 𝑥. Eh bien, en fait, étant donné que notre 𝑎 est moins 90, alors moins 𝑎 va nous donner plus 90. Donc, ce qu’on va faire, c’est décaler notre courbe de 90 degrés vers la droite, donc 90 degrés suivant notre axe des 𝑥, comme on a montré ici dans notre croquis.

Maintenant, il ne nous reste plus qu’à identifier lequel des graphiques est identique à celui-ci. Eh bien, en fait, nous pouvons voir que c’est le graphique (A) qui correspond. Et c’est le bon graphique car il montre le déphasage de 90 degrés qu’on a eu. Et on peut voir que les autres graphiques sont incorrects car le graphique (B) représente la courbe de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥, le graphique (C) est un changement de période, le graphique (D) est en fait un changement de période et un déphasage, et le graphique (E) est un décalage vertical. On peut donc confirmer que le bon graphique est le graphique (A).

Bien, maintenant, on va voir un autre exemple de décalage. Mais cette fois, on va voir un problème dans lequel il y a un décalage vertical ou une translation dans l’axe des 𝑦.

Lequel des graphiques ci-dessous représente 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥 plus un ?

Donc, on peut voir ici que 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥 plus un est une translation de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Et on sait que c’est une translation parce qu’elle est sous la forme 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎, et donc un décalage de 𝑎 suivant l’axe des 𝑦. Alors, on a maintenant un décalage de 𝑎 unités suivant l’axe des 𝑦. Mais de quoi est-ce la translation ?

Eh bien, il s’agit de la translation de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Et on sait ce que ça sera, un décalage d’une unité dans l’axe des 𝑦. Mais qu’est-ce que cela signifie en pratique ? Eh bien, cela signifie qu’on additionne un à chacune de nos coordonnées 𝑦. Eh bien, pour déterminer lequel des graphiques représente ce décalage d’une unité dans l’axe des 𝑦, on a décrit la courbe de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Et on l’a fait sur le graphique (A).

Eh bien, en fait, si on la décale d’une unité dans l’axe des 𝑦, on additionne donc une unité à chacune des coordonnées 𝑦, on peut voir qu’elle s’associe à la courbe illustrée dans (A). Parce qu’au lieu que les pics soient à un, ils seraient à deux. Et au lieu que les creux soient moins un, ils seraient à zéro. On peut donc dire que le graphique (A) est la courbe de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥 plus un. Eh bien, si on vérifie les autres graphiques, on va voir que ceux-ci sont incorrects car (B) est en fait la courbe de 𝑦 est égal à cosinus de 𝑥. Nous avons (C), qui est un déphasage ; (D) est un changement de période ; et (E) est un changement de période et un déphasage.

Alors maintenant, on a traité quelques questions dans lesquelles on identifie quel graphique correspond à une équation particulière. Mais pour la suivante, ce que nous devons faire, c’est déterminer quelle équation décrit le graphique que nous examinons.

La figure est la représentation graphique d’une fonction. Laquelle des équations ci-dessous décrit le graphique ? (A) 𝑦 est égal à sinus de deux 𝑥, (B) 𝑦 est égal à sinus de 𝑥 plus deux, (C) 𝑦 est égal à deux sinus de 𝑥, (D) 𝑦 est égal à sinus de 𝑥 moins deux, ou (E) 𝑦 est égal à sinus de 𝑥 plus deux.

Alors, pour répondre à ce problème, on a dessiné un croquis rapide d’une partie de la courbe de sinus. C’est juste la partie où elle est positive. Et ce que nous pouvons voir, c’est que le pic de 𝑦 qui est égal à sinus de 𝑥 est en un. Et si on l’étend un peu, c’est à dire en allant de zéro au côté négatif, on peut voir que notre creux ou l’un de nos creux est à moins un. Cependant, si on regarde la représentation graphique qu’on a ici, on peut voir que le pic est à moins un. Et en fait, le creux est à moins trois. On peut donc voir qu’il y a eu un décalage vertical de deux unités vers le bas.

Donc, ce qu’on peut faire, c’est nous rappeler nos translations avec des graphiques. On sait donc que 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 est un décalage vertical de 𝑎 unités ou un décalage dans la direction 𝑦. Ensuite, on sait que 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 est un déphasage ou un décalage de moins 𝑎 unités dans la direction 𝑥. Par conséquent, si on ne considère que le décalage, on pourrait dire qu’il s’agit de 𝑦 est égal à sinus de 𝑥 moins deux car on examine notre première translation. Mais on pourrait se demander, eh bien, y aura-t-il aussi une dilatation ?

Eh bien, en fait, on ne connaît pas les coordonnées 𝑥 car elles ne sont pas en degrés. Il est donc difficile de dire si une dilatation s’est produite ou non. Eh bien, si on regarde (C), on peut voir que pour (C) on a une dilatation. Et il s’agit d’une dilatation dans la direction 𝑦. On sait donc que cela ne peut pas être la bonne réponse car en fait, les amplitudes de nos deux courbes sont exactement les mêmes, car les amplitudes sont égales à un.

Eh bien, si on considère notre autre dilatation, nous pouvons voir que c’est une dilatation parallèle à l’axe des 𝑥. Et ici, il n’y a pas non plus de décalage. On a donc juste la dilatation. On a déjà identifié qu’il y a eu un décalage. Donc, cela ne peut pas être la bonne réponse. On peut donc dire que (D) est l’équation qui décrit notre graphique. Et si on considère (B) et (E), eh bien, on peut voir que (B) est incorrect car il s’agit d’un décalage dans la direction 𝑥. Il s’agit donc d’un déphasage. Mais on a dit que le nôtre est un décalage vertical. Et (E) est incorrect car pour (E) il s’agit d’un décalage de la courbe de deux unités vers le haut au lieu de deux unités vers le bas. Donc, cela est également incorrect.

Alors, on a vu un certain nombre d’exemples différents, dans lesquels on a affaire à une seule transformation. Pour la dernière question, on va en fait voir une double transformation et voir ce que cela fait.

Lequel des graphiques ci-dessous représente 𝑦 est égal à sinus de 𝑥 sur quatre moins un ?

Alors, dans ce problème, on a une combinaison de transformations. Cependant, comme une de nos transformations est horizontale et une de nos transformations est verticale, l’ordre dans lequel on effectue nos transformations importe peu. Eh bien, si on considère la première partie de notre transformation, c’est une dilatation car c’est sous la forme 𝑓 de 𝑎𝑥. C’est là que la dilatation est parallèle à l’axe des 𝑥 avec un facteur d’échelle de un sur 𝑎, alors qu’on peut voir que la deuxième partie de notre transformation est une translation. Et ceci parce que c’est sous la forme 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Donc, il s’agit d’un décalage vertical de 𝑎 unités.

Par conséquent, comme je l’ai dit, on a quelque chose qui renvoie en fait à une direction horizontale car c’est parallèle à l’axe des 𝑥. Et on a une autre chose, notamment un décalage, et un décalage vertical. Donc, cela implique notre axe des 𝑦. Eh bien, comme nous l’avons dit, cette courbe sera une transformation de la courbe de 𝑦 est égal à sinus de 𝑥. Donc, ce qu’on a fait ici c’est décrire le graphique (C), notre courbe de 𝑦 est égal à sinus de 𝑥. On peut donc voir à quoi cela ressemble.

Eh bien, tout de suite, on peut voir que cela passe par l’origine : zéro, zéro. Donc, comme on peut le voir sur notre transformation, on va appliquer un décalage vertical de moins un car on va soustraire un de chacune des coordonnées 𝑦. Par conséquent, le point qui passe par l’origine de notre courbe transformée va aller à zéro, moins un. Eh bien, par conséquent, nous pouvons exclure les graphiques (A) et (E). Et ceci parce qu’on peut voir qu’aucun de ces graphiques ne passe pas par le point zéro, moins un.

Bien, mais on a encore trois graphiques dans la course. Alors, que devons-nous faire maintenant ? Toutefois, on peut également exclure les graphiques (C) et (D). Et ceci parce que même si leurs courbes passent par le point zéro, moins un, on peut voir qu’en fait, il y aurait dû avoir un déphasage pour les transformer de 𝑦 égal à sinus de 𝑥 car elles ne passent pas par là au même point sur le graphique. Étant donné que pour ces deux courbes, le creux est à zéro, moins un. On peut donc dire avec conviction que le graphique (B) est le bon graphique.

Mais ce qu’on peut également faire pour confirmer que c’est le bon graphique, c’est regarder la distance entre le point où la courbe traverse l’axe des 𝑦 et son premier pic. Et sur la courbe initiale de 𝑦 est égal à sinus de 𝑥, c’est 90. Eh bien, si on regarde la nouvelle courbe, c’est 360, ce qui est logique car le facteur d’échelle devrait être un sur 𝑎 pour notre dilatation. Eh bien, un sur un sur quatre équivaut à multiplier par quatre. 90 fois quatre font 360.

On a donc traité quelques exemples. Voyons maintenant les points clés de la leçon. Alors, tout d’abord, dans la leçon, on a examiné la translation. Donc, si on a 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎, il s’agit d’un décalage parallèle à l’axe des 𝑥 de moins 𝑎 unités, donc un déphasage. Et 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 est un décalage parallèle à l’axe des 𝑦 de 𝑎 unités, appelé décalage vertical. Et puis nous avons examiné les dilatations. Et nous savons que si on a 𝑓 de 𝑎𝑥, il s’agit d’une dilatation dans la direction 𝑥 avec un facteur d’échelle de un sur 𝑎. Et si on a 𝑎𝑓 de 𝑥, il s’agit d’une dilatation dans la direction 𝑦 avec un facteur d’échelle de 𝑎. Et le premier est un changement de période, et le second provoque un changement d’amplitude.

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