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Vidéo de question : Déterminer la limite en un point d’une fonction rationnelle Mathématiques

Déterminez lim_(𝑥 → −4) ((𝑥²−9𝑥+2)/(−8𝑥²−3𝑥−9)).

03:11

Transcription de vidéo

Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers moins quatre de 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus deux, le tout divisé par moins huit 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins neuf.

Quand on nous demande de déterminer une limite, la première chose à essayer est la substitution directe. Nous pouvons voir que la fonction dont on nous demande de déterminer la limite est une fonction rationnelle. Il s’agit du quotient de deux polynômes, 𝑝 de 𝑥 divisé par 𝑞 de 𝑥. Nous rappelons que nous pouvons utiliser la substitution directe pour déterminer la limite quand 𝑥 tend vers une certaine valeur finie 𝑎 d’une fonction rationnelle à condition que le polynôme du dénominateur soit différent de zéro en 𝑥 égale 𝑎. Cela nous donne que la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑎.

En fait, même si le polynôme du dénominateur est égal à zéro quand 𝑥 est égal à 𝑎, nous pouvons vérifier si le polynôme du numérateur est lui aussi égal à zéro quand 𝑥 est égal à 𝑎. Si c’est le cas, alors le théorème de factorisation des polynômes nous permet de dire que nos deux polynômes partagent un facteur commun, 𝑥 moins 𝑎. Nous pouvons ensuite annuler ce facteur commun de 𝑥 moins 𝑎 pour former une nouvelle fonction rationnelle qui est égale à l’ancienne en tout point sauf en 𝑥 égale 𝑎. Enfin, nous pouvons essayer d’utiliser la substitution directe avec cette nouvelle fonction rationnelle pour déterminer notre limite.

Nous devons calculer la limite quand 𝑥 tend vers moins quatre. Ainsi, nous posons 𝑎 est égal à moins quatre. Nous posons aussi 𝑝 de 𝑥 est égal au polynôme du numérateur de notre fonction. Ainsi, 𝑝 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus deux. Puis, nous posons 𝑞 de 𝑥 est égal au polynôme du dénominateur de notre fonction. Ainsi, 𝑞 de 𝑥 égale moins huit 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins neuf.

Nous devons maintenant vérifier la valeur de notre dénominateur en 𝑥 égale moins quatre. En remplaçant 𝑥 par moins quatre dans notre polynôme 𝑞 de 𝑥, nous obtenons moins huit fois moins quatre au carré moins trois fois moins quatre moins neuf. Cela se simplifie en moins 128 plus 12 moins neuf, ce qui est égal à moins 125. Ainsi, notre dénominateur est différent de zéro. Nous en déduisons que nous pouvons calculer la limite qui nous est donnée dans l’énoncé par substitution directe.

En appliquant la méthode de la substitution directe, nous obtenons que la limite quand 𝑥 tend vers moins quatre de 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus deux, le tout divisé par moins huit 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins neuf, est égale à moins quatre au carré moins neuf fois moins quatre plus deux, le tout divisé par moins huit fois moins quatre au carré moins trois fois moins quatre moins neuf. Le dénominateur de notre expression est 𝑞 de quatre et nous avons déjà calculé précédemment que cela vaut 125.

Ainsi, il ne reste plus qu’à calculer le numérateur. Moins quatre au carré est égal à 16. Nous devons soustraire à cela neuf fois moins quatre, ce qui revient à additionner 36. Enfin, nous ajoutons deux. Notre expression peut se simplifier en 54 divisé par 125.

Par conséquent, nous avons montré que la limite quand 𝑥 tend vers moins quatre de 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus deux, le tout divisé par moins huit 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins neuf, est égale à moins 54 divisé par 125.

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