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Vidéo de question : Trouver des équations paramétriques de droites Mathématiques

Les droites d’équations 𝑥 = 3𝑡₁ − 2, 𝑦 = 3𝑡₁ +2, 𝑧 = 9𝑡₁ − 2 et 𝑥 = 𝑎𝑡₂ − 2, 𝑦 = 𝑡₂ + 1, 𝑧 = 𝑏𝑡₂ − 2 sont parallèles. Que vaut 𝑎 + 𝑏 ?

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Transcription de vidéo

Les droites d’équations 𝑥 égale trois 𝑡 un moins deux, 𝑦 égale trois 𝑡 un plus deux, 𝑧 égale neuf 𝑡 un moins deux et 𝑥 égale 𝑎𝑡 deux moins deux, 𝑦 égale 𝑡 deux plus un, 𝑧 égale 𝑏𝑡 deux moins deux sont parallèles. Que vaut 𝑎 plus 𝑏 ?

La première droite est représentée par ces trois équations. Et la deuxième droite est représentée par ces trois équations. En voyant ça, vous pourriez être tenté de faire des calculs algébriques, d’essayer une sorte de substitution. Il y a d’ailleurs assez d’équations pour le faire. Vous pouvez résoudre par substitutions répétées. Mais ça va prendre beaucoup de temps.

Et il existe une meilleure méthode. Cette forme s’appelle la forme paramétrique de l’équation d’une droite. Dans cette forme d’équation, les coefficients de la variable 𝑡 forment un vecteur directeur qui est parallèle à la droite. Pour la première droite, après le 𝑥 égale, il y a trois comme coefficient de 𝑡 un. Dans l’équation de 𝑦, il y a trois comme coefficient de 𝑡 un. Et dans l’équation de 𝑧, il y a neuf comme coefficient de 𝑡 un.

Cherchons le vecteur directeur de la deuxième droite. Pour le terme en 𝑥, le coefficient de la variable 𝑡 deux est 𝑎. En examinant l’équation de 𝑦, on ne voit rien devant la variable 𝑡 deux. Ce qui veut dire que le coefficient est un. Et enfin, le coefficient pour l’équation de 𝑧 est 𝑏.

En quoi cela nous aide-t-il ? On sait que ces deux droites sont parallèles. Ce qui veut dire que leurs deux vecteurs directeurs sont proportionnels. En examinant le troisième coefficient, on a trois pour la première droite et un pour la deuxième. Pour passer de trois à un, on divise par trois. Ça veut dire que la variable 𝑏 est égale à neuf divisé par trois. Et la variable 𝑎 est égale à trois divisé par trois.

𝑎 égale un. Et 𝑏 égale trois. Notre but est de trouver 𝑎 plus 𝑏. Un plus trois égale quatre.

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