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Vidéo de question : Déterminer les composantes d’une force à partir de la somme des moments Mathématiques

Soient 𝐅₁ = 𝑖 + 𝑗 et 𝐅₂ = 𝑚𝑖 - 𝑗, où 𝐅₁ et 𝐅₂ sont deux forces s'appliquant respectivement aux points 𝐴 (2 ; 0) et 𝐵 (0 ; 0). Si la somme des moments par rapport à l’origine est 0𝑘, déterminez la valeur de 𝑚.

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Transcription de vidéo

𝐅 un est égal à 𝑖 plus 𝑗 et 𝐅 deux est égal à 𝑚 𝑖 moins 𝑗, où 𝐅 un et 𝐅 deux sont deux forces agissant sur les points 𝐴 deux, zéro et 𝐵 zéro, deux, respectivement. Si la somme des moments autour de l’origine est zéro 𝑘, déterminez la valeur de 𝑚.

Rappelons que le moment 𝐌 d’une force 𝐅 agissant à partir d’un point 𝑃 autour d’un pivot 𝑂 est donné par le produit vectoriel de 𝐫 par 𝐅, où 𝐫 est le vecteur 𝑂 à 𝑃. Dans ce cas, nous avons la force 𝐅 un égale à 𝑖 plus 𝑗 agissant à partir du point 𝐴 deux, zéro et la force 𝐅 deux égale à 𝑚 𝑖 moins 𝑗 agissant à partir du point 𝐵 zéro, deux. Les vecteurs 𝐫 un et 𝐫 deux de l’origine au point d’action des forces sont respectivement deux, zéro et zéro, deux. La question nous dit que la somme des moments de ces forces autour de l’origine est nulle. La somme des deux moments 𝐌 un plus 𝐌 deux est égale au produit vectoriel de 𝐫 un par 𝐅 un plus le produit vectoriel de 𝐫 deux par 𝐅 deux.

Nous connaissons les valeurs de toutes les grandeurs dans cette équation, sauf la composante 𝑖 de 𝐅 deux, 𝑚. Donc nous devons évaluer ces produits vectoriels, puis isoler 𝑚. Le produit vectoriel de 𝐫 un et 𝐅 un est égal au déterminant de la matrice trois-trois 𝑖, 𝑗, 𝑘, deux, zéro, zéro, un, un, zéro. Ces deux vecteurs sont dans le plan 𝑥𝑦. Par conséquent, seule la composante 𝑘 de leur produit vectoriel sera non nulle. L’évaluation de ce déterminant en développant le long de la rangée du haut nous donne simplement deux 𝑘.

En faisant la même chose pour le produit vectoriel de 𝐫 deux et 𝐅 deux nous donne le déterminant de la matrice trois-trois 𝑖, 𝑗, 𝑘, zéro, deux, zéro, 𝑚, moins un, zéro. Encore une fois, les deux vecteurs sont dans le plan 𝑥𝑦, donc seule la composante 𝑘 de leur produit vectoriel sera non nulle. Après l’avoir évalué ce déterminant nous donne juste moins deux 𝑚𝑘. Par conséquent, la somme des deux moments 𝐌 un plus 𝐌 deux est égale à deux 𝑘 moins deux 𝑚𝑘.

La question nous dit que cette somme est égale à zéro 𝑘. Si nous identifions la composante 𝑘 des deux côtés, on obtient deux moins deux 𝑚 égale zéro. En isolant 𝑚, nous donne notre réponse finale : 𝑚 est égal à un.

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