Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les nombres rationnels et à déterminer la position d’un nombre rationnel sur une droite numérique. Mais commençons par réfléchir à la définition d’un nombre rationnel.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous forme d’une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro. Alors décomposons un peu cela. On nous dit qu’un nombre rationnel doit pouvoir s’écrire comme une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers. Rappelez-vous que les entiers sont les nombres naturels, y compris zéro, et les négatifs des nombres naturels. Nous pourrions donc dire, par exemple, qu’une fraction comme deux tiers est un nombre rationnel parce que deux et trois sont des entiers et que trois n’est certainement pas égal à zéro. On pourrait aussi dire qu’un nombre comme moins trois et un quart est un nombre rationnel. En effet, il peut être écrit comme une fraction impropre négative moins 13 sur quatre, et moins 13 et quatre sont tous deux des entiers.
Mais qu’en est-il d’une valeur entière réelle telle que 10 ? Serait-ce rationnel ? Eh bien, oui, car rappelez-vous que nous pouvons écrire n’importe quel entier comme une valeur supérieure sur un, dans ce cas, nous pouvons voir très clairement que cela est sous la forme 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers. Bien qu’une valeur telle que 4,75, qui est un nombre décimal, ne semble pas immédiatement rationnelle, nous pouvons, en fait, nous rappeler que nous pourrions l’écrire sous une forme fractionnaire. 4,75 peut être écrit sous la forme de quatre et soixante-quinze centièmes ou, alternativement, quatre et trois quarts. 19 sur quatre serait cette valeur comme une fraction impropre, qui correspond à la forme d’un nombre rationnel.
En plus des nombres décimaux terminaux comme 4,75, nous avons également des nombres décimaux périodiques tels que 0,131313 et ainsi de suite. Tout nombre décimal périodique peut également être écrit sous forme de fraction. Par exemple, ici, il s’agit de la fraction de 13 sur 99. Donc, les nombres décimaux terminaux et les nombres décimaux périodiques seront des nombres rationnels. Vous pourriez commencer à vous demander « qu’est-ce que nous dirions si un nombre n’est pas rationnel ? » Eh bien, un nombre qui n’est pas rationnel s’appelle un nombre irrationnel. C’est un nombre qui ne peut pas être écrit comme une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro.
Bien que dans cette vidéo, nous nous concentrions sur les nombres rationnels, il peut être utile d’avoir une idée de certains nombres qui sont irrationnels. Peut-être que le nombre irrationnel le plus connu est 𝜋, qui est une valeur qui ne peut pas être exprimée sous forme de nombre décimal terminal ou de nombre décimal périodique. Cela ne peut pas non plus être exprimé sous forme de fraction, c’est pourquoi 𝜋 est irrationnel. Les nombres décimaux qui n’ont pas de fin ou ne se répètent pas, ainsi que des valeurs telles que la racine carrée des nombres, qui ne sont pas des carrés parfaits. Mais regardons quelques questions. En parcourant chaque question, nous nous souviendrons de cette définition d’un nombre rationnel. Donc, espérons que, à la fin de cette vidéo, vous pourrez le rappeler facilement.
Dans notre première question, nous allons déterminer si un nombre est rationnel ou non.
Est-ce que 12 et cinq sixièmes sont des nombres rationnels ?
Commençons par rappeler la définition d’un nombre rationnel, qui est un nombre qui peut être exprimé comme 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro. Bien que nous ayons ici un nombre fractionnaire, 12 et cinq sixièmes, pourrions-nous écrire ceci sous la forme d’une fraction complète 𝑝 sur 𝑞 ? En d’autres termes, pourrions-nous écrire cela comme une fraction impropre ? Si nous considérons notre valeur de 12, alors combien de sixièmes aurons-nous dans 12 unités entières ? Eh bien, nous aurions soixante-douze sixièmes plus la valeur fractionnaire de cinq sixièmes, ce qui nous donnerait une fraction de 77 sur six.
Une autre façon, bien sûr, de faire cela est de prendre notre dénominateur six et de le multiplier par 12, puis d’ajouter la valeur cinq. Quoi qu’il en soit, nous pouvons voir que 12 et cinq sur six équivaut à 77 sur six. Alors, est-ce que cette valeur est un nombre rationnel ? La réponse est oui.
Regardons une autre question.
Est-ce que chaque nombre rationnel est un entier ?
Dans cette question, nous avons deux termes très mathématiques, rationnel et entier. Prenons d’abord le mot entier. Celui-ci sera défini comme un nombre qui n’a pas de partie fractionnaire. Il comprend les nombres fondamentaux, par exemple, un, deux, trois, quatre, zéro, et les négatifs des nombres fondamentaux. Un nombre rationnel est défini comme un, qui peut être exprimé comme 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro.
Prenons donc des nombres qui sont rationnels. Par exemple, nous pourrions avoir cette fraction six sur un, qui correspond à la forme d’un nombre rationnel. Six et un sont des entiers, et un, cette valeur 𝑞 au dénominateur, n’est pas égal à zéro. Cela équivaut à la valeur six, qui est un entier. Prenons un autre nombre rationnel. Ici, nous avons l’exemple de moins deux cinquièmes. Nous devrions nous demander si moins deux cinquièmes est un entier, un nombre qui n’a pas de partie fractionnaire. Et ce serait non. Nous ne pourrions en aucun cas écrire cela comme un nombre qui n’a pas de partie fractionnaire. Par conséquent, la réponse à la question « est-ce que chaque nombre rationnel est un entier ? » est non.
Si nous considérons le diagramme de Venn où nous avons l’ensemble des nombres rationnels, alors cet ensemble sera l’ensemble des entiers. L’utilisation de ce diagramme est utile pour illustrer que chaque entier est un nombre rationnel, mais que chaque nombre rationnel n’est pas un entier.
Dans la question suivante, nous verrons une notation plus formelle pour l’ensemble des nombres rationnels.
Laquelle des affirmations suivantes est vraie ? L’option (A) un est un élément des nombres rationnels. L’option (B) un n’est pas un élément des nombres rationnels.
Les symboles dans cette question représentent une notation mathématique formelle. Le symbole ∊ peut être lu comme un élément de, appartenant à ou faisant partie de, et ce symbole ℚ représente l’ensemble des nombres rationnels. Donc, pour déterminer si un est membre de l’ensemble des nombres rationnels ou si un n’est pas membre de l’ensemble des nombres rationnels, nous devrons nous rappeler ce que sont les nombres rationnels.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro. Nous pourrions alors regarder ce nombre un et se dire : « eh bien, c’est déjà un entier. Comment pourrais-je l’exprimer en une fraction ? » Eh bien, toute valeur entière peut être écrite comme une valeur sur un. En regardant la définition, nous pouvons confirmer que le nombre un au numérateur est un entier, tout comme le nombre un au dénominateur. Et surtout, ce nombre au dénominateur n’égale pas zéro. Cela signifie que le nombre un est membre de l’ensemble des nombres rationnels. Par conséquent, notre réponse est celle donnée dans l’option (A) ; un est un membre de l’ensemble des nombres rationnels.
Dans la question suivante, nous déterminerons la position d’un nombre rationnel sur une droite numérique.
Lequel des nombres 𝑙, 𝑚, 𝑛 et 𝑜 est quatre dixièmes ?
Si nous regardons cette droite numérique, nous pouvons voir que nous avons des mesures de moins un, zéro et un. Nous avons également ces quatre lettres, qui représentent des valeurs différentes sur cette droite numérique. Nous devons déterminer laquelle d’entre elles représente quatre dixièmes. La première chose à laquelle nous pourrions penser est le fait que quatre dixièmes est une valeur positive. Nous pourrions donc réécrire toutes les options données étant inférieures à zéro. Deuxièmement, nous pourrions reconnaître que quatre dixièmes doit être compris entre zéro et un. Si c’était une fraction sur 10 supérieure à un, alors le numérateur serait supérieur à 10. Considérons alors cette section entre zéro et un.
Une méthode pour déterminer la position est de considérer que celle-ci est divisée en cinq sections. Idéalement, cependant, nous aimerions 10 sections. Donc, si nous divisons cette partie en 10 sections, alors quatre dixièmes sera à la valeur représentée par 𝑛. Comme une autre méthode, nous aurions pu simplifier la fraction de quatre dixièmes en supprimant le facteur commun deux au numérateur et au dénominateur. Sur les cinq sections entre zéro et un, nous recherchons deux cinquièmes, ce qui signifierait que cela confirme que la valeur 𝑛 représente quatre dixièmes. Donc, 𝑛 est la réponse. Notez que cette valeur de 𝑜 représente quatre cinquièmes sur la droite numérique.
Dans cette question, nous devrons trouver la position d’un nombre sans avoir de droite numérique.
Déterminez le nombre rationnel situé à mi-chemin entre moins deux septièmes et quatre trente cinquièmes.
Ici, nous avons deux fractions, moins deux septièmes et quatre trente cinquièmes. Et on nous demande de déterminer le nombre rationnel qui se trouve à mi-chemin entre les deux. Nous pouvons rappeler que le nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro. La meilleure façon de poser une telle question est de voir si on peut donner aux dénominateurs la même valeur.
Nous devrions pouvoir écrire moins deux septièmes comme une fraction sur 35. En observant que nous multiplions le dénominateur par cinq, notre numérateur sera également multiplié par cinq, ce qui donne une valeur de moins 10 sur 35. Il peut être utile de visualiser moins 10 sur 35 et quatre sur 35 sur une droite numérique. Donc, à l’extrémité inférieure de cette droite numérique, nous avons moins 10 sur 35. Et à l’extrémité supérieure, nous avons quatre trente-cinquièmes. Cette valeur de zéro trente-cinquième est également juste équivalente à zéro.
Si nous devions penser en fonction de la distance à partir de zéro, à gauche, nous aurions une distance de dix trente-cinquièmes, et à droite une distance de quatre trente-cinquièmes. Cela équivaut à quatorze trente-cinquièmes au total. La moitié de cela nous donnerait sept trente-cinquièmes. Par conséquent, si nous partons de moins 10 et comptons un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, nous obtiendrons une valeur de moins trois trente-cinquièmes. En guise de vérification, compter à rebours sept trente-cinquièmes à partir de quatre trente-cinquièmes nous donnerait également moins trois trente-cinquièmes. Par conséquent, nous pourrions donner la réponse de moins trois trente-cinquièmes.
Il existe bien sûr une méthode différente si nous ne voulons pas ou ne pouvons pas tracer sur une droite numérique. Revenons à nos deux valeurs originales : moins deux septièmes, que nous pourrions écrire moins dix trente cinquièmes, et quatre trente cinquièmes. Le point à mi-chemin, entre ces deux, est équivalent à déterminer la médiane. Nous commencerions par additionner ces deux fractions. Pour additionner des fractions, nous devons avoir le même dénominateur et additionner les valeurs au numérateur. Dans ce cas, moins 10 plus quatre nous donnerait moins six. Alors, rappelez-vous, nous déterminons la médiane. Donc, nous avons additionné nos valeurs. Puis, comme il y a deux valeurs, nous devons diviser par deux.
Afin de diviser cette fraction par deux, nous pouvons la considérer comme la fraction deux sur un, puis nous multiplions par l’inverse. Donc, nous devons calculer moins six trente-cinquièmes multiplié par un demi. Avant de multiplier, nous pouvons simplifier cela en supprimant le facteur commun de deux. Donc, nous aurons moins trois trente-cinquièmes multiplié par un sur un. En multipliant les numérateurs, puis en multipliant les dénominateurs séparément, nous obtenons la valeur moins trois trente-cinquièmes, ce qui confirme notre réponse précédente donnée par la première méthode.
Regardons une dernière question.
Laquelle des expressions suivantes est rationnelle étant donné que 𝑎 est égal à un et 𝑏 est égal à 34 ? Option (A) moins 39 sur 𝑎 moins un, option (B) 39𝑏 sur 𝑏 moins 34, option (C) 39𝑏 sur 𝑎 moins un, ou option (D) 𝑏 sur 𝑎.
Pour répondre à cette question, commençons par rappeler la définition d’un nombre rationnel. Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous forme de 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro. Dans les quatre options ici, nous pouvons voir que nous avons quatre fractions qui contiennent des valeurs numériques et aussi les termes algébriques 𝑎 et 𝑏. Cependant, on nous donne des valeurs numériques pour 𝑎 et 𝑏. Nous allons donc prendre chaque expression à tour de rôle et insérer ces valeurs.
Commençons par la première expression de l’option (A). Nous allons insérer la valeur que 𝑎 est égal à un. Nous aurons toujours 39 au numérateur, et nous aurons un moins un au dénominateur. Cela, bien sûr, se simplifie à moins 39 sur zéro. Vous pourriez penser que cela semble très bien en tant que fraction. Nous avons un nombre au numérateur et un nombre au dénominateur. Mais en fait, si vous avez déjà essayé de diviser un nombre par zéro sur votre calculatrice, vous obtiendrez une réponse non définie. Et surtout, si nous regardons notre définition d’un nombre rationnel, le 𝑞, la valeur du dénominateur, ne peut pas être égal à zéro. Donc, cette valeur de moins 39 sur zéro n’est pas un nombre rationnel. Et donc, nous pouvons exclure l’option (A).
Dans l’expression de l’option (B), nous devrons remplacer la valeur 𝑏 égale à 34 deux fois car 𝑏 se produit deux fois. Nous aurons donc le calcul 39 fois 34 sur 34 moins 34. Avant de nous précipiter pour calculer 39 multiplié par 34, vous remarquerez peut-être déjà ce qui se passera sur ce dénominateur. Encore une fois, nous allons avoir un dénominateur qui a une valeur de zéro. Ainsi, nous savons que cette expression lorsque 𝑏 est égal à 34 ne serait pas rationnelle.
Nous pouvons utiliser la même méthode pour insérer les valeurs 𝑎 et 𝑏 dans l’option (C). Donc, il y a 39 fois 34 sur un moins un. Vous avez peut-être déjà remarqué que ce dénominateur donnera également une valeur de zéro. Ainsi, l’option (C) n’est pas un nombre rationnel lorsque 𝑎 est un et 𝑏 est 34.
L’expression dans l’option (D) est 𝑏 sur 𝑎 qui sera 34 sur un. Vérifions si cela correspond à la définition d’un nombre rationnel. Nous l’avons sous forme d’une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers. Et 34 et un sont des entiers. Et bien sûr, le dénominateur un n’égale pas zéro. Par conséquent, 34 sur un est rationnel. Et donc, notre réponse est (D). 𝑏 sur 𝑎 est rationnel lorsque 𝑎 est égal à un et 𝑏 est égal à 34.
Avant de terminer cette question, examinons rapidement cette expression dans l’option (A). Nous avons vu que cette expression moins 39 sur 𝑎 moins un n’est pas rationnelle, mais ce n’est pas toujours le cas. Si nous avions une valeur autre que 𝑎 est égal à un, par exemple, 𝑎 est égal à deux, alors nous calculerions moins 39 sur deux moins un, ce qui nous donnerait une valeur rationnelle de moins 39 sur un. Les expressions (A), (B) et (C) sont uniquement irrationnelles car elles avaient un dénominateur de zéro, car elles avaient en fait des valeurs entières au numérateur et au dénominateur.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette vidéo. Tout d’abord, nous avons commencé par la définition d’un nombre rationnel, qui est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d’une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’égale pas zéro. Les nombres rationnels comprennent les entiers, les fractions et les fractions de nombres fractionnaires, les nombres décimaux terminaux et les nombres décimaux périodiques. Les nombres qui ne sont pas rationnels sont appelés des nombres irrationnels. Et enfin, nous avons vu cette notation plus formelle où ce symbole, qui ressemble à un ℚ avec une ligne supplémentaire, représente l’ensemble des nombres rationnels.
