Vidéo question :: Résoudre des équations trigonométriques faisant intervenir des déterminants Mathématiques

Transcription de la vidéo

Résolvez l’équation, déterminant de moins cos 𝜃, sin 𝜃 et csc 𝜃, csc 𝜃 égal moins deux étant donné que 𝜃 est strictement supérieur à zéro degré et strictement inférieur à 90 degrés.

Commençons par rappeler ce que nous entendons par le déterminant d’une matrice, en particulier une matrice deux-deux. Le déterminant d’une matrice standard deux-deux 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. En utilisant cette définition, le déterminant de la matrice moins cos 𝜃, sin 𝜃, csc 𝜃, csc 𝜃 est moins cos 𝜃 multiplié par csc 𝜃 moins sin 𝜃 multiplié par csc 𝜃.

Pour nous aider à progresser à partir de là, rappelons d’abord que csc 𝜃 est égal à un sur sin 𝜃. Remplaçons donc csc 𝜃 par un sur sin 𝜃. Donc, nous avons moins cos 𝜃 multiplié par un sur sin 𝜃 moins sin 𝜃 multiplié par un sur sin 𝜃 égal moins deux. Je vais réécrire ce terme comme cos 𝜃 sur sin 𝜃 et ce terme comme sin 𝜃 sur sin 𝜃. Ensuite, nous pouvons remarquer que sin 𝜃 sur sin 𝜃 égal un. Et nous pouvons également réécrire cos 𝜃 sur sin 𝜃 en utilisant une identité que nous connaissons. Vu que nous savons que sin 𝜃 sur cos 𝜃 est égal à tan 𝜃, alors cos 𝜃 sur sin 𝜃 est égal à un sur tan 𝜃. Nous avons donc moins un sur tan 𝜃 moins un égal moins deux.

Simplifions maintenant l’équation dont nous disposons. Nous pouvons commencer par ajouter un sur tan 𝜃 aux deux membres de cette équation. Cela nous donne moins un égal moins deux plus un sur tan 𝜃. Et puis ajoutons deux aux deux membres, ce qui nous donne un égal un sur tan 𝜃. On peut alors multiplier les deux membres par tan 𝜃. Cela nous donne que tan 𝜃 est égal à un, et maintenant nous avons juste besoin de déterminer 𝜃. Nous pourrions le faire en calculant l’image de un par la réciproque de tan, ce qui nous donnerait 45 degrés.

Nous pourrions également utiliser la courbe représentative de tan pour remarquer que lorsque tan de 𝜃 égal un, 𝜃 égal 45 degrés. Notez qu’il y aura plus de valeurs sur la courbe pour lesquelles tan 𝜃 égal un. En fait, la suivante est 180 plus 45. Mais il s’agit de 225 et c’est en dehors de l’intervalle donné. Donc, la réponse est 𝜃 égal 45 degrés.