Transcription de la vidéo
Un fabricant de bonbons a 30 kilogrammes de biscuits au chocolat et 60 kilogrammes de biscuits à la vanille. Les ventes se feront selon deux combinaisons différentes. La première combinaison comprendra un quart de biscuits au chocolat et trois quarts de biscuits à la vanille par rapport au poids total, tandis que la seconde combinaison sera composée d’une moitié de biscuits au chocolat et d’une moitié de biscuits à la vanille par rapport au poids total. Il existe un contrat exigeant qu’au moins 20 kilogrammes de la seconde combinaison soient fournis à une boulangerie spécifique.
Lequel des systèmes d’inéquations suivants représente le nombre de kilogrammes des première et seconde combinaisons qui seront vendus ? On pose 𝑥 le nombre de kilogrammes de la première combinaison, et 𝑦 le nombre de kilogrammes de la deuxième combinaison. Est-ce (A) 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 120, trois 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 240, 𝑦 est supérieur ou égal à 20, 𝑥 est supérieur ou égal à zéro ? Est-ce (B) 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 120, trois 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 240, 𝑦 est inférieur ou égal à 20, 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, 𝑦 est supérieur ou égal à zéro ? Est-ce (C) 𝑥 plus deux 𝑦 est supérieur ou égal à 120, trois 𝑥 plus deux 𝑦 est supérieur ou égal à 240, 𝑦 est supérieur ou égal à 20, 𝑥 est supérieur ou égal à zéro ? Est-ce (D) 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 120, trois 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 240, 𝑦 est supérieur ou égal à 20 ? Est-ce (E) 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 120, trois 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 240, 𝑥 est supérieur ou égal à 20 ?
Commençons par effacer les propositions (D) et (E) pour faire un peu d’espace. Nous n’avons pas besoin de garder les systèmes d’inéquations à l’écran car nous allons les établir nous-mêmes. Nous voulons trouver le système d’inéquations qui remplit les conditions sur le nombre de kilogrammes des deux types de cookies différents. Généralement dans ce genre de problème, nous commencerions par définir nos variables. Seulement, on nous dit de poser 𝑥 comme le nombre de kilogrammes de la première combinaison et 𝑦 comme le nombre de kilogrammes de la seconde. Puisque nous travaillons avec des nombres de kilogrammes, nous savons que ces valeurs doivent être bien sûr positives. Autrement dit, 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et 𝑦 est supérieur ou égal à zéro.
Il faut faire cependant attention ! On nous dit en fait qu’il existe un contrat exigeant qu’au moins 20 kilogrammes de la deuxième combinaison soient fournis à une certaine boulangerie. Ainsi, l’inéquation 𝑦 est supérieur ou égal à zéro est en fait superflue. Nous pouvons plutôt spécifier que 𝑦 est supérieur ou égal à 20. Maintenant, revenons à nos deux combinaisons. Plus précisément, on nous dit que la première combinaison sera constituée d’un quart de biscuits au chocolat et la seconde sera constituée à moitié de biscuits au chocolat. On nous dit aussi qu’il y a 30 kilogrammes de biscuits au chocolat. La combinaison de ce quart de biscuits au chocolat et de cette moitié de biscuits au chocolat ne peut donc pas dépasser 30.
Maintenant, puisque la première combinaison pèse 𝑥 kilogrammes, le poids des biscuits au chocolat dans cette combinaison est d’un quart de 𝑥 ou 𝑥 sur quatre. De même, la deuxième combinaison pèse 𝑦 kilogrammes. Donc, si nous la faisons avec une moitié de biscuits au chocolat, cela représente un poids de 𝑦 sur deux. Le poids total des biscuits au chocolat est alors la somme et cela doit être inférieur ou égal à 30.
Répétons ceci avec les biscuits à la vanille. On nous dit que la première combinaison est constituée de trois biscuits de cookies à la vanille, la seconde à moitié de biscuits à la vanille et que le total ne dépasse pas 60 kilogrammes. Ainsi, cette fois, nous pouvons représenter le poids total des biscuits à la vanille par trois 𝑥 sur quatre plus 𝑦 sur deux. Cela doit être bien sûr inférieur ou égal à 60.
Nous avons maintenant toutes les inéquations pertinentes, mais nous allons les exprimer avec des valeurs entières. Pour y parvenir, nous allons multiplier ces deux dernières inéquations par quatre. Cela nous donne que 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 120 et que trois 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 240. Ainsi, le système d’inéquations qui représente le nombre de kilogrammes de nos deux combinaisons est 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 120, trois 𝑥 plus deux 𝑦 est inférieur ou égal à 240, 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et 𝑦 est supérieur ou égal à 20. En comparant cela à l’ensemble des propositions de l’énoncé de la question, il s’agit donc de la proposition (A).
