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Vidéo de question : Évaluation d’une fonction polynomiale en fonction de variables et d’expressions algébriques Mathématiques

Considérons la fonction polynomiale (𝑥) = 2𝑥³ + 5𝑥² - 7𝑥 + 10. Évaluez 𝑓(𝑥² + 1).

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Transcription de vidéo

Considérons la fonction polynomiale 𝑓 de 𝑥 égale à deux 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 10. Évaluez 𝑓 de 𝑥 au carré plus un.

Donc, pour évaluer le polynôme, au lieu d’avoir 𝑥 dans notre fonction, nous devons la remplacer par 𝑥 au carré plus un. Donc, partout où il y a un 𝑥 dans notre fonction, nous devons le remplacer par 𝑥 au carré plus un - ici et ici aussi. Nous devons donc utiliser 𝑥 carré plus un à trois endroits différents puis simplifier.

Donc, ici, nous avons repris notre fonction et au lieu de 𝑥, nous l’avons remplacée par 𝑥 au carré plus un. Commençons par réécrire ce premier morceau. Au lieu d’écrire 𝑥 au carré plus un à la puissance trois, c’est la même chose que 𝑥 au carré plus un fois 𝑥 au carré plus un fois 𝑥 au carré plus un. Ce prochain morceau est similaire. Au lieu du carré, nous pouvons le réécrire de cette façon. Pour ce troisième morceau, nous devons développer. Moins sept fois 𝑥 au carré est moins sept 𝑥 au carré et moins sept fois un est moins sept. Et puis, enfin, nous avons ce plus 10.

Dans nos prochaines étapes, il y aura beaucoup de multiplication. Nous commencerons par développer ces deux parenthèses, en les multipliant ensemble. 𝑥 au carré fois 𝑥 au carré est 𝑥 puissance quatre. 𝑥 carré fois un est égal à 𝑥 carré. Un fois 𝑥 au carré est égal à 𝑥 au carré. Et un fois un est égal à un. Et 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré est égal à deux 𝑥 au carré.

Lors de notre prochaine étape, nous multiplierons par ce dernier 𝑥 carré plus un, mais pas tout de suite. Ensuite, nous devons prendre 𝑥 au carré plus un fois 𝑥 au carré plus un. Mais nous savons déjà à quoi cela équivaut car nous venons de le calculer. Il est égal à 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au carré plus un. Nous recopions notre moins sept 𝑥 au carré, puis moins sept plus 10 est trois.

Ensuite, nous devons les multiplier ensemble : 𝑥 puissance quatre fois 𝑥 au carré égal à 𝑥 puissance six parce que nous ajoutons nos exposants. 𝑥 puissance quatre fois un est 𝑥 puissance quatre. Deux 𝑥 au carrée fois 𝑥 au carré est deux 𝑥 puissance quatre. Deux 𝑥 au carré fois un est égal à deux 𝑥 au carré. Un fois 𝑥 au carré est égal à 𝑥 au carré. Et un fois un est égal à un. Et nous pouvons simplifier cela parce que 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 puissance quatre est trois 𝑥 puissance quatre et deux 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré est égal à trois 𝑥 au carré.

Maintenant, notre prochaine étape va être de distribuer le cinq. Et cinq fois 𝑥 puissance quatre est cinq 𝑥 puissance quatre. Cinq fois deux 𝑥 au carré est égal à 10𝑥 au carré. Et cinq fois un est égal à cinq. Et nous recopions nos deux derniers termes. Nous pouvons mettre le cinq et le trois ensemble pour donner huit. Et nous pouvons également rassembler le 10𝑥 au carré et le moins sept 𝑥 au carré. Cela équivaut à trois 𝑥 au carré.

Alors maintenant, enfin, nous devons distribuer le deux. Deux fois 𝑥 puissance six est deux 𝑥 puissance six. Deux fois trois 𝑥 puissance quatre est égal à six 𝑥 puissance quatre. Deux fois trois 𝑥 au carré est égal à six 𝑥 au carré. Et deux fois un est égal à deux. Et après avoir recopié nos autres termes, nous pouvons combiner les termes similaires maintenant.

Nous pouvons continuer et écrire deux 𝑥 puissance six parce qu’il n’y a pas d’autre 𝑥 puissance six avec lequel il peut se combiner. Six 𝑥 puissance quatre plus cinq 𝑥 puissance quatre est égal à 11𝑥 puissance quatre. Six 𝑥 au carré plus trois 𝑥 au carré est égal à neuf 𝑥 au carré. Et puis, deux plus huit est égal à 10.

Donc, notre réponse finale est deux 𝑥 puissance six plus 11𝑥 puissance quatre plus neuf 𝑥 puissance deux plus 10.

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