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Vidéo de question : Déterminer la dérivée seconde de fonctions composées à l’aide de la règle de la chaîne Mathématiques

On pose 𝑦 = 𝑧⁸ et 𝑧 = −𝑥 - 1. Déterminez 𝑑²𝑦/𝑑𝑥².

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Transcription de vidéo

On pose 𝑦 égal 𝑧 puissance huit et 𝑧 égal moins 𝑥 moins un. Déterminez 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux.

Ce 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux est la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Si vous dérivez 𝑦 par rapport à 𝑥, vous obtenez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et si vous dérivez encore une fois par rapport à 𝑥, vous obtenez ceci : 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux. En d’autres termes, c’est la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.

Et donc pour trouver cette quantité, nous déterminons d’abord 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Comment peut-on trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 ? Eh bien, nous avons 𝑦 en fonction d’une autre variable 𝑧 et 𝑧 en fonction de 𝑥. Cela ressemble donc à un problème que l’on peut résoudre avec la règle de la chaîne. La règle de la chaîne nous dit que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑧 fois 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥.

Appliquons cette règle à notre problème. 𝑦 est égal à 𝑧 puissance huit et donc 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑧 est huit 𝑧 puissance sept. Maintenant, nous devons trouver 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥. Et c’est simple parce que nous savons que 𝑧 est égal à moins 𝑥 moins un. La dérivée de moins 𝑥 moins un par rapport à 𝑥 est moins un. Donc 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est moins huit 𝑧 puissance sept.

D’accord, c’est 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Mais rappelez-vous que nous recherchons 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux. Et nous avons déjà dit que c’est la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Maintenant que nous avons trouvé que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est moins huit 𝑧 puissance sept, nous pouvons voir que la quantité que nous recherchons 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux est la dérivée 𝑑 sur 𝑑𝑥 de moins huit 𝑧 puissance sept.

Et le moyen le plus simple de trouver cette dérivée est d’utiliser de nouveau la règle de la chaîne. La façon la plus simple de voir cela est probablement de définir une autre variable 𝑤 égale moins huit 𝑧 puissance sept. Ensuite, nous cherchons 𝑑𝑤 sur 𝑑𝑥. Il se trouve que nous avons écrit la règle de la chaîne en termes de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Mais nous pouvons changer les deux 𝑦, en 𝑤 et nous obtenons alors la même règle mais juste avec des variables différentes. Après avoir écrit la règle de la chaîne ainsi, nous pouvons simplement lire que 𝑑𝑤 sur 𝑑𝑥 est 𝑑𝑤 sur 𝑑𝑧 fois 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥.

Maintenant, libérons un peu d’espace. Alors, c’est quoi 𝑑𝑤 sur 𝑑𝑧 ? Eh bien, 𝑤 est moins huit 𝑧 puissance sept. Donc 𝑑𝑤 sur 𝑑𝑧 est moins 56 𝑧 puissance six. Et 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥, nous l’avons calculé plus tôt. En utilisant le fait que 𝑧 est égal à moins 𝑥 moins un, nous avons trouvé que c’était moins un. En simplifiant, nous obtenons 56 𝑧 puissance six.

Mais nous n’avons pas tout à fait terminé. Nous aimerions avoir 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux écrit en fonction de 𝑥 plutôt qu’en fonction de la variable auxiliaire 𝑧. Et nous pouvons le faire parce que nous avons une expression pour 𝑧 en fonction de 𝑥 moins 𝑥 moins un. Et nous remplacer 𝑧 par cette expression.

Notre réponse finale est donc que 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux est 56 moins 𝑥 moins un puissance six. Nous aurions également pu factoriser par le moins un entre parenthèses pour obtenir 56 𝑥 plus un puissance six. Cette réponse serait également correcte.

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