Transcription de la vidéo
Est-ce que les courbes d’équations neuf 𝑦 à la puissance quatre moins huit 𝑦 est égal à six 𝑥 et moins cinq 𝑥 au carré moins trois 𝑦 est égal à moins quatre 𝑥 se coupent de manière orthogonale à l’origine ?
Avant de commencer, nous pouvons vérifier que les courbes se croisent à l’origine en regardant les deux équations évaluées en zéro, zéro. Lorsque 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à zéro, nous pouvons voir que les deux équations deviennent zéro est égal à zéro, les deux courbes passent donc bien par l’origine. Rappelez-vous que deux courbes se croisent orthogonalement en un point si leurs tangentes sont définies en ce point et si ces dernières sont orthogonales l’une à l’autre.
Déterminons les pentes des tangentes à l’origine de chaque courbe en dérivant implicitement les équations données. Pour la première courbe, nous avons d sur d𝑥 de neuf 𝑦 à la puissance quatre moins huit 𝑦 est égal à d sur d𝑥 de six 𝑥. L’expression sur le côté gauche de l’équation est exprimée en fonction de la variable 𝑦. Nous devons donc appliquer la règle de dérivation en chaîne : d sur d𝑥 de neuf 𝑦 à la puissance quatre moins huit 𝑦 est égal à d sur d𝑦 de neuf 𝑦 à la puissance quatre moins huit 𝑦 multiplié sur d𝑦 sur d𝑥, ce qui est égal à 36𝑦 au cube moins huit multiplié par d𝑦 sur d𝑥.
En revanche, le côté droit donne d sur d𝑥 de six 𝑥, soit six. Par conséquent, nous avons 36𝑦 au cube moins huit multiplié par d𝑦 sur d𝑥 est égal à six. En divisant par 36𝑦 au cube moins huit, nous avons d𝑦 sur d𝑥 est égal à six sur 36𝑦 au cube moins huit. Nous savons que d𝑦 sur d𝑥 évaluée à l’origine donne la pente de la tangente.
Substituer l’origine zéro, zéro dans l’équation nous donne ce qui suit. En calculant le dénominateur, nous avons d𝑦 sur d𝑥 est égal à six sur moins huit, soit moins trois quarts. Ainsi, la pente de la tangente de la première courbe à l’origine est de moins trois quarts.
Ensuite, trouvons la pente de la tangente de la deuxième courbe. La dérivation implicite de la deuxième équation nous donne d sur d𝑥 de moins cinq 𝑥 au carré moins d sur d𝑥 de trois 𝑦 est égal à d sur d𝑥 de moins quatre 𝑥. Le premier terme du côté gauche et le terme du côté droit de l’équation sont des dérivées régulières, puisque la variable dans ces expressions correspond à la variable de dérivation 𝑥.
Pour le deuxième terme sur la gauche, nous devons utiliser la règle de dérivation en chaîne. Nous avons d sur d𝑥 de moins cinq 𝑥 au carré est égal à moins 10𝑥. Puis, d sur d𝑥 de trois 𝑦 est égal à d sur d𝑦 de trois 𝑦 multiplié par d𝑦 sur d𝑥, ce qui est égal à trois multiplié par d𝑦 sur d𝑥. d sur d𝑥 de moins quatre 𝑥 est égal à moins quatre. Cela nous donne moins 10𝑥 moins trois multiplié par d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins quatre.
En réarrangeant pour isoler d𝑦 sur d𝑥, nous avons d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins quatre plus 10𝑥 divisé par moins trois. En évaluant cette équation à l’origine zéro, zéro et en simplifiant, nous avons ce qui suit, ce qui se simplifie en d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre tiers. Ainsi, la pente de la tangente à la deuxième courbe à l’origine est de quatre tiers.
Nous avons maintenant les pentes des deux tangentes à l’origine. Rappelez-vous que si le produit des pentes de deux droites donne moins un, cela signifie qu’elles sont orthogonales. Nous avons obtenu les pentes des tangentes pour ces deux courbes : moins trois quarts et quatre tiers. Nous voyons que moins trois quarts fois quatre tiers donne moins un.
Nous pouvons donc conclure que les deux courbes se croisent orthogonalement à l’origine.
