Transcription de la vidéo
Soit un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 35 centimètres cm et le périmètre est égal à 84 centimètres. Calculez la longueur des deux autres côtés.
Tout d’abord, traçons une figure qui représente ces informations. On sait que l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et qu’elle mesure 35 centimètres. Les deux autres côtés sont inconnus, et c’est ce que nous essayons de déterminer. De plus, on sait d’après l’énoncé que le périmètre de ce triangle rectangle est de 84 centimètres. Pour résoudre ce problème, nous devrons créer quelques équations. Comme le périmètre est la distance tout autour du triangle, nous pouvons écrire une équation telle que 𝑥 plus 𝑦 plus 35 égale 84. Nous pouvons isoler les variables de gauche en soustrayant 35 des deux membres de cette équation pour obtenir 𝑥 plus 𝑦 égal à 49. Nous allons poser cela comme étant la première équation.
Pour former une deuxième équation, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore puisqu’il s’agit ici d’un triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore, 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré tel que la somme des carrés des deux petits côtés d’un triangle rectangle sera égale au carré de l’hypoténuse. En substituant ce que nous savons sur le triangle, nous pouvons arriver à l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 35 au carré. En élevant 35 au carré, nous trouvons 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 1225, ce qui devient la deuxième équation.
Nous pouvons maintenant utiliser des techniques pour résoudre des systèmes d’équations afin de trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Nous pourrions résoudre ce problème en réécrivant la première équation où une variable est en fonction de l’autre et en la substituant dans la deuxième équation. Nous pouvons isoler 𝑥 dans la première équation en soustrayant 𝑦 des deux membres de sorte que nous ayons une troisième équation qui nous dit que 𝑥 est égal à 49 moins 𝑦. La troisième équation est équivalente à l’équation numéro un, mais juste écrite sous une forme différente. Nous allons prendre l’équation trois et la remplacer pour la valeur 𝑥 dans l’équation numéro deux, ce qui nous donne 49 moins 𝑦 le tout au carré plus 𝑦 au carré est égal à 1225.
Afin de résoudre l’équation pour déterminer 𝑦, la première étape consiste à développer le terme 49 moins 𝑦 au carré. Nous savons que la forme 𝑎 moins 𝑏 au carré sera égale à 𝑎 au carré moins deux 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Cette forme développée est alors 49 au carré moins deux fois 49 fois 𝑦 plus 𝑦 au carré. À partir de là, nous pouvons élever au carré 49 pour obtenir 2401. Moins deux fois 49 fois 𝑦 égale moins 98𝑦. Puis, nous pouvons regrouper les termes semblables, ce qui nous donnera 2401 moins 98𝑦 plus deux 𝑦 au carré égale 1225.
À ce stade, on peut remarquer qu’il s’agit d’une équation du second degré. Et cela signifie que pour résoudre 𝑦, nous allons mettre cette équation égale à zéro. Si nous soustrayons 1225 des deux membres, nous obtenons 1176 moins 98𝑦 plus deux 𝑦 au carré égale zéro. Puisque les trois coefficients sont pairs, nous pouvons diviser par deux, ce qui nous donne 588 moins 49𝑦 plus 𝑦 au carré égal à zéro. Il est plus courant d’écrire ceci sous la forme 𝑦 au carré moins 49𝑦 plus 588. De là, vous pouvez résoudre à l’aide de la formule des racines du second degré ou vous pouvez résoudre en factorisant. Nous recherchons deux valeurs qui, multipliées ensemble, sont égales à 588 et lorsqu'elles sont additionnées on obtient moins 49. Ces valeurs seront moins 21 et moins 28. Pour enfin résoudre, nous allons rendre chacun de ces termes égal à zéro. Puis nous constatons que 𝑦 est égal à 21 ou 𝑦 est égal à 28.
Maintenant que nous avons deux valeurs possibles pour 𝑦, nous voulons trouver les valeurs possibles pour 𝑥. Et pour faire cela, nous prendrons les deux valeurs de 𝑦 et les substituons à la troisième équation, ce qui nous donnera 𝑥 est égal à 49 moins 21 ou 𝑥 est égal à 49 moins 28. Ce que nous voyons, c’est si 𝑦 est 21, 𝑥 est égal à 28. Et si 𝑦 est égal à 28, 𝑥 est égal à 21. Cela signifie qu’un côté doit être égal à 28 centimètres et l’autre côté doit être égal à 21 centimètres. De plus, nous pourrions vérifier notre réponse en observant que 21 plus 28 plus 35 est égal à 84, ce qui est notre cas.
