Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que la mesure de l’angle 𝐴 égale 152 degrés et 𝐵𝐶 égale 11 centimètres. Calculez l’aire de son cercle circonscrit en donnant votre réponse au centimètre carré près.
Nous avons donc des informations sur un triangle et on nous demande de trouver l’aire de son cercle circonscrit. Nous rappelons d’abord que le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle. Pour calculer l’aire d’un cercle, nous utilisons la formule pi 𝑟 au carré. Pour répondre à cette question, nous devons donc déterminer le rayon du cercle.
Les informations données sur ce triangle consistent en la mesure d’un angle et la longueur de son côté opposé. Nous le savons parce que la longueur donnée est celle du côté reliant les sommets 𝐵 et 𝐶, qui sera opposé au troisième angle du triangle, l’angle 𝐴. Une autre façon de désigner le côté reliant les sommets 𝐵 et 𝐶 est aussi 𝑎 minuscule car il est opposé à l’angle 𝐴 majuscule. Comme les informations qui nous sont données consistent en un angle et la longueur de son côté opposé dans un triangle particulier, cela suggère que nous allons utiliser la loi des sinus.
La loi des sinus nous dit que dans tout triangle le rapport entre la longueur de chaque côté et le sinus de son angle opposé est constant, ce que nous pouvons exprimer comme 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵 qui est égal à 𝑐 sur sinus 𝐶. Mais il existe également un lien entre le rapport de la loi des sinus et le rayon du cercle circonscrit du triangle. En fait, ce rapport est toujours égal à deux fois le rayon du cercle circonscrit. Nous pouvons calculer ce rapport parce que nous connaissons la longueur d’un côté et la mesure de son angle opposé.
Donc, en substituant 11 à la longueur du côté et 152 degrés à son angle opposé, nous avons deux 𝑟 égale 11 sur sinus de 152 degrés. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour calculer le rayon du cercle circonscrit. En divisant les deux côtés par deux, nous avons 𝑟 égale 11 sur deux sinus 152 degrés. L’évaluation de cela sur nos calculatrices, en s’assurant qu’elles sont en mode degré, donne 11,715. Après avoir calculé le rayon du cercle circonscrit, nous devons maintenant calculer son aire, donc nous substituons cette valeur de 11,715 dans la formule de l’aire d’un cercle.
Il est préférable de conserver la valeur non arrondie sur l’écran de la calculatrice, puis de la porter au carré et de la multiplier par pi pour éviter d’introduire des erreurs d’arrondi. On trouve alors 431,178. On nous demande de donner notre réponse au centimètre carré près, nous arrondissons donc cette valeur à l’entier le plus proche et incluons les unités, qui sont des centimètres carrés.
Ainsi, en rappelant le lien entre le rayon du cercle circonscrit et le rapport de la loi des sinus, nous avons trouvé le rayon du cercle circonscrit et, par conséquent, calculé son aire, qui au centimètre carré le plus proche vaut 431 centimètres carrés.
