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Vidéo : Comment utiliser les propriétés associatives et commutatives

Anne-Claire Dupuis

Les propriétés commutatives et associatives de l’addition et de la multiplication sont essentielles pour pouvoir simplifier des calculs. Dans cette vidéo, apprenez à vous en servir de façon efficace à l’aide de nombreux exemples.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons récapituler ce que sont les propriétés commutative et associative des opérations. Ensuite, nous verrons à l’aide d’exemples comment utiliser ces propriétés lorsqu’on fait du calcul mental, ou qu’on veut trouver le nombre manquant dans certaines équations.

Commençons par l’associativité. Quand un calcul comporte plusieurs fois la même opération et que celle-ci est associative, son résultat ne dépend pas de la façon dont les termes sont groupés deux à deux.

Donc par exemple, si on additionne un plus deux plus trois, cela n’a pas d’importance si on fait d’abord un plus deux et ensuite on ajoute trois, ou si on ajoute d’abord deux à trois et ensuite on fait un plus le résultat de cette opération ; dans les deux cas nous obtenons six.

Et de même pour la multiplication : si on a quatre fois cinq fois six, on va obtenir le même résultat si on fait d’abord quatre fois cinq et ensuite on multiplie par six, ou si on fait d’abord cinq fois six, et on multiplie quatre par ce résultat ; dans les deux cas nous avons bien 120.

Quand à la soustraction, on voit dans l’exemple ci-dessous que la façon dont les termes sont groupés deux à deux ne donne pas le même résultat.

Il en est de même pour la division avec ici 16 divisé par quatre divisé par deux, on n’obtient pas le même résultat si on groupe les termes deux à deux différemment.

La soustraction et la division ne sont donc pas associatives.

Pour ce qui est de la commutativité, lorsqu’une opération commutative est effectuée sur deux termes, l’ordre des termes n’a pas d’importance. Donc par exemple avec l’addition trois plus cinq égale huit, égale aussi cinq plus trois ; donc l’ordre n’a pas d’importance.

Et de même avec la multiplication, quand je multiplie quatre par six, que je fasse quatre fois six ou six fois quatre, j’obtiens bien 24 dans les deux cas.

Donc l’addition et la multiplication sont toutes les deux commutatives.

Par contre, la soustraction et la division ne sont pas commutatives. Par exemple pour la soustraction, sept moins quatre n’est pas égal à quatre moins sept, puisque dans un cas nous obtenons trois et dans l’autre moins trois.

Et dans notre exemple ici pour la division, nous voyons bien que 10 divisé par cinq n’est pas cinq divisé par 10, puisque deux n’est pas égal à un demi.

Maintenant que nous avons revu ce que sont l’associativité et la commutativité, voyons ensemble quelques exemples.

Maintenant que nous avons revu ce que sont l’associativité la commutativité, voyons ensemble quelques exemples.

Ici, on nous demande de trouver le nombre manquant : 39,6 fois 12,8 égale un nombre fois 39,6.

Nous voyons dans cet exemple que 39,6 est présent des deux côtés de l’équation. 39,6 fois 12,8 est quelque chose fois 39,6. Et la multiplication étant commutative, on a 𝑎 fois 𝑏 égale 𝑏 fois 𝑎, et donc 39,6 fois 12,8 doit être égal à 12,8 fois 39,6.

Le nombre manquant est donc 12,8.

Ici, trouver le nombre manquant : neuf demis plus 29 neuvièmes égale 29 neuvièmes plus un nombre. Ici nous voyons que de part et d’autre du signe égal, nous avons une addition, et également, nous avons dans les deux- des deux côtés le terme 29 neuvièmes.

L’addition étant commutative, on a 𝑎 plus 𝑏 égale 𝑏 plus 𝑎, ce qui veut dire que neuf demis plus 29 neuvièmes doit être égal à 29 neuvièmes plus neuf demis.

Trouver les nombres manquants : six fois quatre égale un nombre fois six égale un nombre fois cinq entre parenthèses plus quatre.

Regardons d’abord la première partie : six fois quatre égale un nombre fois six. Du- des deux côtés du signe égal, nous avons une multiplication et le nombre six.

La multiplication étant commutative, on a 𝑎 fois 𝑏 égale 𝑏 fois 𝑎, et donc six fois quatre égale quatre fois six. Donc le premier nombre manquant est quatre.

Cherchons maintenant le deuxième nombre manquant. Nous avons donc six fois quatre égale ce nombre manquant fois cinq entre parenthèses plus quatre.

Je peux réécrire ici le nombre manquant fois cinq comme cinq fois un nombre manquant, et quatre comme une fois quatre. On en déduit que si cinq fois un nombre plus une fois quatre doit être égal à six fois quatre, alors le nombre manquant ici doit être quatre, puisque cinq groupes de quatre plus un groupe de quatre va bien donner six groupes de quatre.

Le deuxième nombre manquant est donc quatre, et nous voyons que dans cet exemple nous avons utilisé la commutativité de la multiplication, lorsque nous avons réécrit le nombre manquant fois cinq égale cinq fois le nombre manquant.

Trouver le nombre manquant : 11,9 plus 2,7 entre parenthèses plus 9,8 égale 11,9 plus entre parenthèses 2,7 plus un nombre manquant.

L’addition étant associative on a 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 égale 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 égale 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐.

Notre équation ici est écrite exactement sous la forme de celle-ci, avec 𝑎 plus 𝑏 entre parenthèses plus 𝑐 égale 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 entre parenthèses.

Le nombre manquant est donc 𝑐, c’est-à-dire 9,8.

Maintenant nous allons compléter le tableau suivant, et nous allons décider pour chaque opération, addition, soustraction, multiplication et division, si elles sont commutatives ou/et associatives.

Commençons par l’addition, l’addition est commutative et elle est aussi associative. La soustraction est ni commutative ni associative. La multiplication, tout comme l’addition, est à la fois commutative et associative, et la division n’est ni commutative ni associative.

Dans cet exemple, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Nous avons donc deux équations différentes la première avec 𝑥 et la deuxième avec 𝑦.

Commençons par la première : 12,8 fois 𝑥 entre parenthèses fois 3,6 égale 12,8 fois entre parenthèses 7,1 fois 3,6.

Nous voyons ici que nous avons les mêmes nombres, les mêmes deux nombres de part et d’autre du signe égal. La multiplication étant associative, cela veut dire que la valeur manquante ici 𝑥 doit être égale à celle-ci, 7,1 ; et donc 𝑥 égale 7,1.

Et dans la deuxième équation, nous avons 11 tiers plus quatre cinquièmes plus sept demis entre parenthèses égale 11 tiers plus quatre cinquièmes entre parenthèses plus 𝑦.

Nous pouvons appliquer exactement le même raisonnement que dans le cas précédent, mais ici avec l’addition. Nous remarquons ici que nous avons 𝑎 et 𝑏 qui sont bien les mêmes de part et d’autre de l’équation, et donc notre 𝑦 ici doit être cette valeur-là. Nous avons donc 𝑦 égale sept demis.

Dans ces deux exemples, nous avons utilisé la propriété d’associativité de l’addition et de la multiplication.

Donc en résumé, l’addition et la multiplication sont associatives, alors que la soustraction et la division ne sont pas associatives.

L’addition et la multiplication sont commutatives, alors que la soustraction et la division ne sont pas commutatives.

Et toutes ces propriétés sont très utiles lorsque l’on fait du calcul mental, ou bien pour réarranger les équations où trouver des nombres manquants comme on l’a vu précédemment.