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Vidéo de la leçon : Convexité et points d’inflexion Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est convexe ou concave et à trouver ses points d’inflexion à l’aide de sa dérivée seconde.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est convexe ou concave et à trouver ses points d’inflexion à l’aide de sa dérivée seconde. Avant de commencer, vous devriez être en mesure de calculer les dérivées première et seconde de fonctions en utilisant les règles standard de dérivation. Vous devez également savoir appliquer le test de la dérivée première pour déterminer la nature d’un point critique.

Pour comprendre ce que l’on entend par convexité d’une fonction, nous allons considérer trois fonctions très communes. Commençons par la courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Il s’agit d’un exemple de fonction convexe sur tout son ensemble de définition. Sa courbe semble pointer vers le bas. Et la pente de la tangente à la courbe est croissante sur tout son ensemble de définition. En d’autres termes, avant le point critique, la pente de la tangente à la courbe est négative. Au point critique, cette pente est nulle. Et après le point critique ou extremum, la pente est positive.

On peut également voir que si la courbe représentative d’une fonction se situe au-dessus de toutes ses tangentes sur un certain intervalle, alors la fonction est dite convexe sur cet intervalle.

Considérons maintenant la fonction 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré. Il s’agit d’un exemple de fonction concave sur tout son ensemble de définition. Cette fois, la courbe semble pointer vers le haut et la pente de ses tangentes est décroissante sur tout l’ensemble de définition de la fonction. Avant le point critique, la pente est positive. Et après le point critique, elle est négative. En considérant à nouveau les tangentes à la courbe, on remarque que si la courbe représentative d’une fonction est en dessous de toutes ses tangentes sur un certain intervalle, alors elle est concave sur ce même intervalle.

Nous avons ainsi expliqué ce qu’est une fonction convexe ou concave sur un certain intervalle. Nous avons également vu ce que cela implique pour la pente de la tangente à la courbe représentative sur ce même intervalle. Plus précisément, pour que la fonction soit convexe, la pente des tangentes à sa courbe doit être croissante, et pour que la fonction soit concave, la pente des tangentes à sa courbe doit être décroissante. Nous pouvons généraliser cela en considérant la dérivée seconde. Si la pente de la tangente 𝑓 prime est croissante, alors la dérivée de cette pente doit être positive. Et cela correspond bien sûr à 𝑓 seconde. La fonction 𝑓 sera donc convexe sur les portions de son ensemble de définition où sa dérivée seconde est positive.

De même, pour que la fonction 𝑔 soit concave, sa dérivée seconde doit être négative. Cela signifie que la dérivée première 𝑔 prime sera décroissante sur cet intervalle.

Avec ces informations à l’esprit, considérons un exemple légèrement différent. Pour les fonctions 𝑓 et g vues précédemment, les points critiques étaient des extremums. Mais étudions maintenant la fonction ℎ de 𝑥 égale 𝑥 au cube. Cette fonction a bien un point critique à l’origine, en zéro, zéro. Mais ce point n’est ni un maximum ni un minimum. En réalité, le signe de la pente de la tangente à la courbe ne change pas de part et d’autre de ce point critique : il est positif avant et après le point critique.

Quelle est donc la différence de chaque côté de ce point critique ? Eh bien, la fonction passe de concave à convexe. On dit alors que ce point est un point d’inflexion. Un point d’inflexion est un point auquel la convexité de la fonction change. Dans ce cas, cette fonction passe de concave à convexe, mais l’inverse pourrait également être vrai.

Pour cette fonction, le point d’inflexion se produit au point critique. Mais ce n’est pas nécessairement toujours le cas. Considérons par exemple cette fonction. En un point de sa courbe représentative, la fonction passe de convexe à concave. Mais ce point n’est pas un point critique. La pente de la tangente à la courbe n’est pas nulle et semble définie. Il est donc possible qu’un point d’inflexion ne soit pas un point critique.

Maintenant, de même que pour les définitions de concave et convexe, on peut donner la définition d’un point d’inflexion en termes de dérivées. En un point d’inflexion, la dérivée seconde de la fonction peut être égale à zéro. Mais cela ne garantit pas qu’il s’agit d’un point d’inflexion. Par conséquent, lorsque la dérivée seconde est égale à zéro, on doit en plus effectuer le test de la dérivée première. Où on vérifie que la dérivée première de chaque côté de ce point critique a le même signe. On peut également utiliser le test de la dérivée seconde et vérifier que la convexité change autour de ce point d’inflexion. C’est-à-dire si la fonction passe de convexe à concave ou inversement.

Résumons à présent toutes ces définitions. Le test de la dérivée seconde d’une fonction 𝑓 indique que si la dérivée seconde de cette fonction est positive sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est convexe sur cet intervalle. Et si la dérivée seconde est négative, alors 𝑓 est concave sur cet intervalle. Si la dérivée seconde est égale à zéro ou est indéfinie, alors il peut s’agir d’un point d’inflexion.

Il y a deux façons de vérifier si c’est le cas. On peut vérifier si la fonction change de convexité. La fonction passe-t-elle de convexe à concave, ou inversement, en ce point ? Ou on peut également étudier le signe de la dérivée première. Si le signe de la dérivée première de chaque côté de ce point ne change pas, alors il s’agit d’un point d’inflexion. Sur la base de toutes ces connaissances, voyons maintenant avec un exemple comment identifier les intervalles sur lesquels une fonction polynôme est concave ou convexe.

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins quatre 𝑥 puissance cinq plus 𝑥 au cube est convexe et concave.

𝑓 est une fonction polynôme du cinquième degré et nous cherchons sur quels intervalles elle est convexe ou concave. Nous savons que nous pouvons utiliser sa dérivée seconde pour cela. Et puisque 𝑓 est une fonction polynôme, elle est dérivable et continue sur tout son ensemble de définition. Cela signifie que nous pouvons déterminer les dérivées première et seconde de cette fonction et que nous savons qu’elles seront définies.

Mais comment la dérivée seconde nous aide-t-elle à identifier la convexité d’une fonction ? Eh bien, nous savons que la fonction est concave sur tous les intervalles où la dérivée seconde est inférieure à zéro, c’est-à-dire où elle est négative. Et elle est convexe sur les intervalles où la dérivée seconde est positive, c’est-à-dire où la dérivée première est croissante. Nous allons donc calculer la dérivée première puis la dérivée seconde de cette fonction.

Commençons par la dérivée première. Pour la trouver, on peut simplement dériver terme par terme. La formule de la dérivée d’une puissance indique que l’on doit multiplier par l’exposant puis réduire cet exposant de un. En dérivant moins quatre 𝑥 puissance cinq par rapport à 𝑥, on obtient cinq fois moins quatre 𝑥 puissance quatre. De même, la dérivée de 𝑥 au cube est trois 𝑥 au carré. La dérivée première est donc égale à moins 20𝑥 puissance quatre plus trois 𝑥 au carré.

On répète ensuite ce processus pour 𝑓 seconde de 𝑥. En dérivant terme par terme et en simplifiant, on obtient moins 80𝑥 au cube plus six 𝑥. Cette expression de la dérivée seconde est un polynôme du troisième degré. Son coefficient dominant est négatif, ce qui nous donne des informations sur la forme de sa courbe représentative. Si nous étudions alors sa courbe représentative, nous serons en mesure d’identifier les intervalles où la dérivée seconde est négative et où elle est positive.

Commençons par identifier les points où elle est égale à zéro. Cela nous indiquera les points où elle coupe l’axe des abscisses ; nous cherchons donc pour quelles valeurs de 𝑥 moins 80𝑥 au cube plus six 𝑥 est égal à zéro. En factorisant le membre gauche, on obtient deux 𝑥 fois moins 40𝑥 au carré plus trois. Et pour que le produit de ces deux expressions soit nul, on sait qu’une de ces deux expressions doit être égale à zéro. En d’autres termes, deux 𝑥 égale zéro ou moins 40𝑥 au carré plus trois égale zéro.

En divisant la première équation par deux, on obtient 𝑥 égale zéro. Pour la deuxième équation, on ajoute 40𝑥 au carré puis on divise par 40. Donc, 𝑥 au carré égale trois sur 40. Pour calculer 𝑥, on prend la racine carrée positive et négative de trois sur 40. Et 𝑥 se simplifie par plus ou moins racine carrée de 30 sur 20. On en déduit donc que la courbe représentative de moins 80𝑥 au cube plus six 𝑥 coupe l’axe des abscisses en zéro et en plus ou moins racine carrée de 30 sur 20. Comme son coefficient dominant est négatif, on sait également qu’elle doit ressembler à ceci.

Identifions à présent les intervalles sur lesquelles cette dérivée seconde est négative. Cela nous indiquera les intervalles où la fonction initiale 𝑓 est concave. Plus précisément, on voit que la dérivée seconde est inférieure à zéro. C’est-à-dire que la courbe représentative de cette fonction se situe en dessous de l’axe des abscisses, sur l’intervalle ouvert de moins racine carrée de 30 sur 20 à zéro et sur l’intervalle ouvert de racine carrée de 30 sur 20 à plus l’infini. Il s’agit donc des intervalles sur lesquelles f est concave.

On peut suivre le même raisonnement pour les intervalles où 𝑓 seconde est positive. Sur la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 seconde de 𝑥, il s’agit des intervalles où la courbe se situe au-dessus de l’axe des abscisses. On voit ainsi que 𝑓 seconde de 𝑥 est supérieure à zéro sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins racine carrée de 30 sur 20 et sur l’intervalle ouvert de zéro à racine carrée de 30 sur 20. Cela signifie que ce sont les intervalles sur lesquelles la fonction d’origine est convexe.

Et nous avons ainsi répondu à la question. La fonction 𝑓 est concave sur l’intervalle ouvert de moins racine carrée de 30 sur 20 à zéro et sur l’intervalle ouvert de racine carrée de 30 sur 20 à plus l’infini. Et elle est convexe sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins racine carrée de 30 sur 20 et sur l’intervalle ouvert de zéro à racine carrée de 30 sur 20.

Maintenant que nous avons montré comment identifier la convexité d’une fonction, nous allons voir comment déterminer si une fonction a un point d’inflexion.

Trouvez le point d’inflexion de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins neuf 𝑥 au carré plus six 𝑥.

Rappelez-vous que pour trouver le point d’inflexion d’une fonction, nous devons identifier le point où la convexité de cette fonction change. Et bien qu’un point d’inflexion puisse également être un point critique, ce n’est pas nécessairement le cas. Nous pouvons alors trouver les valeurs possibles de ces points à l’aide de la dérivée seconde. Plus précisément, si la dérivée seconde est égale à zéro ou n’est pas définie, alors il peut s’agir d’un point d’inflexion. Pour confirmer s’il s’agit bien d’un point d’inflexion, on doit ensuite vérifier si la convexité change de chaque côté de ce point. En d’autres termes, la fonction passe-t-elle de concave à convexe, ou inversement ?

𝑓 est ici une fonction polynôme. Et c’est une bonne nouvelle car cela signifie qu’elle est continue et dérivable sur la totalité de son ensemble de définition. Lorsque l’on dérive 𝑓 de 𝑥, on obtient en fait une autre fonction polynôme, qui est toujours continue et dérivable. Cela signifie que l’on peut commencer par calculer la dérivée première, puis dériver une fois de plus pour obtenir la dérivée seconde.

On dérive terme par terme. La dérivée de 𝑥 au cube par rapport à 𝑥 est trois 𝑥 au carré. On rappelle que l’on multiplie par l’exposant et que l’on réduit l’exposant de un. De même, en dérivant moins neuf 𝑥 au carré par rapport à 𝑥, on obtient moins 18𝑥. Enfin, la dérivée de six 𝑥 est simplement six. Par conséquent, la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est égale à trois 𝑥 au carré moins 18𝑥 plus six.

On répète ce processus une fois de plus pour trouver l’expression de la dérivée seconde. Et on obtient six 𝑥 moins 18. Pour déterminer où un point d’inflexion pourrait se produire, on la pose ensuite égale à zéro. C’est-à-dire, six 𝑥 moins 18 égale zéro. Pour calculer 𝑥, on commence par ajouter 18 aux deux membres, ce qui donne 18 égale six 𝑥 ou six 𝑥 égale 18. On divise ensuite par six. Et on obtient 𝑥 égale 18 sur six, ou simplement trois. On en déduit donc qu’un point d’inflexion peut se produire au point d’abscisse 𝑥 égale trois. C’est le point où la dérivée seconde est égale à zéro.

Pour confirmer qu’il s’agit bien d’un point d’inflexion, nous allons étudier la dérivée seconde de chaque côté de 𝑥 égale trois et vérifier si sa convexité change. Vérifions par exemple les points où 𝑥 est égal à deux et 𝑥 est égal à quatre. En remplaçant 𝑥 par deux dans l’expression de la dérivée seconde, on obtient six fois deux moins 18, ce qui fait moins six. On sait alors que si la dérivée seconde est négative, alors la pente de la tangente à la courbe d’origine est décroissante. Cela signifie que sur l’intervalle où la dérivée seconde est négative, la fonction est concave. Donc, notre fonction est concave sur l’intervalle contenant 𝑥 égale deux.

En suivant les mêmes étapes pour x égale quatre, on trouve que la dérivée seconde est égale à six fois quatre moins 18, soit plus six. Cette fois, 𝑓 est convexe puisque la dérivée seconde est positive sur l’intervalle contenant 𝑥 égale quatre. On constate donc que la fonction passe de concave à convexe au point 𝑥 égale trois.

On peut déterminer les coordonnées complètes de ce point en remplaçant 𝑥 par trois dans la fonction d’origine. 𝑓 de trois égale trois au cube moins neuf fois trois au carré plus six fois trois, ce qui est égal à moins 36. Par conséquent, le point d’inflexion sur la courbe représentative de cette fonction est situé en trois, moins 36.

Récapitulons maintenant les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons appris que pour une fonction 𝑓, si sa dérivée seconde est positive sur un intervalle, alors f est convexe sur ce même intervalle. À l’inverse. Si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle, alors 𝑓 est concave. Nous avons de plus vu qu’un point d’inflexion correspond au point où la fonction change de convexité. Cela se produit lorsque 𝑓 seconde de 𝑥 est égale à zéro ou n’est pas définie. Mais ce critère seul n’est pas suffisant. Il faut également vérifier que la convexité de la fonction change ou que le signe de la dérivée première ne change pas.

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