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Sachant que la matrice 𝐴 est égale à un, moins 16, cinq, deux, moins quatre, moins trois, moins un, sept, quatre, quel est le plus grand nombre 𝑘 pour lequel aucune entrée de 𝑘 fois 𝐴 n’est strictement supérieure à un?
Dans cette question, on nous donne une matrice 𝐴. Nous devons déterminer le plus grand nombre 𝑘 pour lequel aucune entrée de 𝑘 multipliée par 𝐴 n’est supérieure à un. Il y a beaucoup d’éléments dans cette question, nous allons donc la décomposer. Premièrement, nous devons savoir ce que nous entendons par 𝑘 multiplié par 𝐴. Rappelez-vous, 𝑘 est un nombre et 𝐴 est une matrice, donc 𝑘 multiplié par 𝐴 est un scalaire multiplié par une matrice. Nous manipulons la multiplication scalaire d’une matrice. Nous devons donc nous rappeler comment nous faisons la multiplication scalaire d’une matrice. Cela signifie que nous devons multiplier chaque entrée de notre matrice 𝐴 par notre scalaire 𝑘. Commençons donc par trouver l’expression de 𝑘 multipliée par 𝐴. Nous devons multiplier chaque entrée de 𝐴 par 𝑘.
Dans la matrice 𝐴, à la première ligne de la première colonne, l’entrée est un. Ainsi, dans notre matrice 𝑘 multiplié par 𝐴, nous devons multiplier cette valeur de un par 𝑘. Dans la ligne un, colonne deux, de la matrice 𝐴, nous avons la valeur de moins 16. Ainsi, dans la première ligne de la colonne deux de notre matrice 𝑘 fois 𝐴, nous devons multiplier cette valeur de moins 16 par 𝑘. Nous pouvons poursuivre ce processus pour le reste des entrées de notre matrice. Nous obtenons la matrice trois trois suivante qui représente 𝑘 multiplié par 𝐴. Tout ce que nous avons fait est de multiplier chaque entrée à l’intérieur de 𝐴 par notre scalaire 𝑘.
Bien sûr, nous pouvons simplifier cela. Tout ce que nous ferons est simplifier chaque entrée de notre matrice. Nous obtenons la matrice trois trois suivante. Maintenant, rappelez-vous, la question nous demande de trouver le plus grand nombre 𝑘 tel qu’aucune entrée de cette matrice ne soit strictement supérieure à un. En d’autres termes, nous devons trouver la plus grande valeur de 𝑘 telle qu’aucune entrée à l’intérieur de cette matrice trois trois ne soit strictement supérieure à un. Cela signifie qu’en examinant chaque entrée individuellement, nous pourrions former un système d’inéquations. L’entrée dans la première ligne et la première colonne de notre matrice est 𝑘. Rappelez-vous, la question veut que nous n’ayons pas d’entrée dans 𝑘 fois 𝐴 qui soit strictement supérieure à un. Ainsi, cette entrée 𝑘 doit être inférieure ou égale à un.
Nous pouvons former une inégalité similaire en regardant l’entrée dans la première ligne et la deuxième colonne. Cette entrée est moins 16𝑘. Puisqu’il n’est pas permis qu’elle soit supérieure à un, elle doit être inférieure ou égal à un. En utilisant exactement la même méthode, nous pouvons trouver sept autres inégalités en regardant les sept autres entrées de notre matrice. Cela nous donne les neuf inégalités suivantes. Toutes ces inégalités doivent être vraies pour qu’aucune entrée de 𝑘 fois 𝐴 ne soit supérieure à un. Résoudre un système d’inéquations est très similaire à résoudre un système d’équations.
Cependant, nous devons être prudents. Rappelez-vous que si nous divisons ou multiplions les deux côtés d’une inéquation par un nombre négatif, nous devons changer le signe de notre inéquation. Cela peut rendre la gestion des inégalités assez délicate. Il existe différentes façons de résoudre ce problème. Nous n’en examinerons qu’une seule. Rappelez-vous, la question veut que nous trouvions le plus grand nombre 𝑘 qui satisfasse notre condition. Nous allons donc commencer par supposer que 𝑘 est positif. Si nous trouvons une solution positive pour 𝑘, nous n’avons même pas besoin de vérifier les solutions négatives de 𝑘 car elles seront plus petites. En effet, nous sommes intéressés par la plus grande.
Cela est en fait très utile car un nombre négatif multiplié par un nombre positif est négatif. Ainsi, le produit sera toujours inférieur ou égal à un. Toutes nos inégalités qui ont un coefficient négatif de 𝑘 seront donc vraies. Moins 16𝑘 est négatif, moins quatre 𝑘 est négatif, moins trois 𝑘 est négatif et moins 𝑘 est négatif. Ainsi, ces valeurs sont toutes inférieures ou égales à un. Ainsi, si 𝑘 est positif, ces quatre inégalités sont déjà vraies. Nous avons juste besoin de corriger les cinq inégalités restantes.
Il y a plusieurs façons de le faire. Le moyen le plus simple est de réorganiser chaque inégalité pour 𝑘. Par exemple, notre première inégalité est déjà en fonction de 𝑘. Nous avons 𝑘 est inférieur ou égal à un. Nous pouvons changer notre troisième inégalité en divisant les deux côtés de l’inéquation par cinq. Ce faisant, nous obtenons que 𝑘 doit être inférieur ou égal à un cinquième. Nous pouvons faire exactement la même chose pour nos trois autres inégalités de coefficients positifs. Nous divisons simplement par le coefficient. Nous obtenons 𝑘 est inférieur ou égal à un demi, 𝑘 est inférieur ou égal à un septième et 𝑘 est inférieur ou égal à un quart. N’oubliez pas notre première inégalité, 𝑘 doit être inférieur ou égal à un.
Nous avons besoin que toutes ces inégalités soient vraies pour notre valeur de 𝑘. Tout cela nous dit que 𝑘 doit être positif et 𝑘 doit être inférieur ou égal à une liste de valeurs. Pour que 𝑘 soit inférieur ou égal à toutes ces valeurs, tout ce que nous devons faire est de rendre 𝑘 inférieur ou égal à la plus petite de ces valeurs. Bien sûr, le plus petit de ces nombres positifs est un sur sept puisque nous divisons par le plus grand nombre positif. Par conséquent, si 𝑘 est inférieur ou égal à un sur sept, alors nous pouvons conclure que 𝑘 est inférieur ou égal à un. De même, il sera aussi inférieur ou égal à un cinquième, à un demi et à un quart, car un sur sept est plus petit que tous ces nombres.
En fait, cela suffit pour répondre à notre question. Nous savons que si 𝑘 est positif, alors 𝑘 doit également être inférieur ou égal à un septième. Nous voulons connaître la plus grande de ces valeurs. Ce sera lorsque 𝑘 est égal à un septième. Par conséquent, nous avons trouvé que notre réponse sera un septième. Il convient de rappeler à nouveau que ce ne sont pas les seules valeurs de 𝑘 qui résoudront notre problème puisque nous avons supposé que 𝑘 est positif. Il y a aussi des valeurs non positives de 𝑘 qui peuvent également répondre à cette problématique. Par exemple, 𝑘 est égal à zéro fonctionne aussi, mais nous voulions seulement la plus grande valeur de 𝑘 avec laquelle tout cela sera plus petit que un.
Par conséquent, sachant la matrice trois trois 𝐴, nous avons pu montrer que le plus grand nombre 𝑘 pour lequel aucune entrée de 𝑘𝐴 n’est supérieure à un est un septième.
