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Vidéo de question : Simplifier des fonctions rationnelles Mathématiques

Simplifiez ((3𝑥 + 2)/7𝑥) + (3𝑥²/(2 - 𝑥)).

03:20

Transcription de vidéo

Simplifiez trois 𝑥 plus deux sur sept 𝑥 plus trois 𝑥 au carré sur deux moins 𝑥.

Dans ce problème, nous avons une fonction qui est la somme de deux quotients algébriques. Afin de simplifier cette fonction, nous devons essayer de combiner les deux quotients en un seul. De notre connaissance de l’addition de quotients numériques ou de fractions, nous savons que nous ne pouvons additionner que lorsque nous avons un dénominateur commun, qui est généralement le plus petit commun multiple des deux dénominateurs individuels. Dans le cas de l’addition des fractions un tiers et un quart, nous utilisons un dénominateur de 12 parce que c’est le plus petit commun multiple de trois et de quatre.

En revenant à notre problème algébrique, nous devons donc trouver le plus petit commun multiple des deux dénominateurs, qui sont sept 𝑥 et deux moins 𝑥. Eh bien, comme ce sont chacune des fonctions linéaires de 𝑥 qui n’ont pas de facteurs communs autres que un, alors leur plus petit commun multiple est en fait leur produit. Cela fait sept 𝑥 multiplié par deux moins 𝑥. Ceci est similaire à notre exemple numérique. Comme les deux dénominateurs de trois et quatre n’avaient pas de facteurs communs autre que un, leur plus petit commun multiple était leur produit, c’est-à-dire 12.

Ce que nous voulons faire maintenant pour simplifier l’expression, c’est réécrire chaque fraction en une fraction équivalente avec un dénominateur de sept 𝑥 multiplié par deux moins 𝑥. Pour la première fraction, nous le faisons en multipliant le numérateur et le dénominateur par deux moins 𝑥. Et pour la seconde, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur par sept 𝑥. Donc l’expression est devenue trois 𝑥 plus deux multiplié par deux moins 𝑥 sur sept 𝑥 multiplié par deux moins 𝑥 plus trois 𝑥 au carré multiplié par sept 𝑥 sur sept 𝑥 multiplié par deux moins 𝑥.

Comme nous avons maintenant le même dénominateur pour les deux fractions, nous pouvons les ajouter en additionnant les numérateurs. Cela donne trois 𝑥 plus deux multiplié par deux moins 𝑥 plus trois 𝑥 au carré multiplié par sept 𝑥 le tout sur sept 𝑥 multiplié par deux moins 𝑥. Nous avons donc combiné notre somme en une seule fraction.

La prochaine étape consiste développer les parenthèses dans le numérateur. Nous pouvons le faire en utilisant la double distributivité si nous le souhaitons. Dans la première parenthèse, nous avons six 𝑥 moins trois 𝑥 au carré plus quatre moins deux 𝑥, ce qui se simplifie en moins trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus quatre. Dans la deuxième parenthèse, nous avons juste trois 𝑥 au carré multiplié par sept 𝑥, ce qui donne 21𝑥 au cube. Ainsi, notre expression se simplifie en moins trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus quatre plus 21𝑥 au cube sur sept 𝑥 multiplié par deux moins 𝑥.

Nous pourrions nous arrêter ici, mais il est plus courant d’écrire les termes au numérateur dans l’ordre des puissances ou exposants décroissants de 𝑥. En commençant par le terme 𝑥 au cube, notre expression s’écrit 21𝑥 au cube moins trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus quatre sur sept 𝑥 multiplié par deux moins 𝑥. Cela ne peut pas être simplifié davantage car il n’y a plus de facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

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