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Vidéo de la leçon : Degré et Coefficient des Polynômes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le degré d’un polynôme et à utiliser les terminologies associées aux polynômes, telles que termes, coefficients et constantes.

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Transcription de vidéo

Degré et Coefficient de Polynômes

Dans cette vidéo, nous allons apprendre ce qu’on entend par polynôme et nous allons définir plusieurs différents mots pour nous aider à décrire différentes parties des polynômes. Nous allons apprendre ce qu’on entend par le degré d’un polynôme, les coefficients des différentes parties d’un polynôme, et nous allons voir comment les déterminer selon le polynôme.

Pour ce faire, nous allons commencer par définir les éléments constitutifs des polynômes. Il s’agit des monômes. Et un monôme est une expression qui est constituée uniquement d’un produit de constantes et de variables, et il est important de savoir que nos variables ne peuvent avoir que des exposants entiers non-négatifs. Nous pouvons alors donner des exemples de monômes. Par exemple, deux 𝑥 est un monôme car c’est un produit entre la constante deux et 𝑥. Et on sait que, 𝑥 est équivalent à 𝑥 puissance un. Un autre exemple pourrait être moins 𝑦 au carré. 𝑦 est une variable, on peut donc l’élever à la puissance deux. Et on sait que, moins 𝑦 au carré est équivalent à moins un fois 𝑦 au carré. Donc, c’est un autre exemple de monôme.

Un autre exemple est une constante quelconque. Par exemple, on peut simplement prendre la constante trois. Et il est important de réaliser qu’on peut prendre n’importe quel exposant de nos constantes. Par exemple, on peut prendre la racine carrée de trois. Ceci est également un exemple de monôme. Un dernier exemple de monôme est la racine carrée de deux fois 𝑥 fois 𝑦 au carré. Il est important de réaliser qu’on peut avoir plusieurs variables dans nos monômes tant que les exposants sont des entiers non-négatifs. Maintenant que nous avons défini le monôme, nous pouvons définir un polynôme.

Un polynôme est juste une expression qui est la somme d’un ou plusieurs monômes. En d’autres termes, on crée des polynômes en additionnant plusieurs monômes. Donc, pour construire quelques exemples de polynômes, nous pouvons utiliser nos monômes. La première chose qu’on peut remarquer est qu’un polynôme est la somme d’un ou plusieurs monômes. Cela signifie qu’un monôme est aussi un polynôme. Par exemple, deux 𝑥 est aussi un polynôme parce que c’est la somme d’un monôme. Cependant, on peut également créer d’autres polynômes. Additionnons deux 𝑥 puissance un et moins 𝑦 au carré. Additionner ces deux monômes signifie que deux 𝑥 puissance un plus moins 𝑦 au carré est un monôme. Et bien sûr, on peut simplifier cela. On peut simplement écrire ceci comme deux 𝑥 moins 𝑦 au carré. Ceci est également un exemple de polynôme.

Ceci est un exemple important pour illustrer le fait qu’un polynôme est la somme des monômes. Cela ne signifie pas que toutes nos opérations doivent être des additions, car nous savons que deux 𝑥 moins 𝑦 au carré est un polynôme. Nous pouvons créer d’autres exemples de polynômes. Par exemple, on peut additionner un terme en 𝑥 avec une constante. Par exemple, 𝑥 plus trois est un exemple de polynôme. Ceux-ci, en fait, ont un nom spécial. On les appelle des expressions linéaires, car si on les trace sur un graphique, on obtient des droites.

Mais cela ne nous intéresse pas pour le moment. On peut ajouter encore plus de monômes en 𝑥. Par exemple, on peut additionner deux 𝑥 au carré à cela. Cela donne deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus trois qui est aussi un polynôme. Et nous pouvons donner un autre exemple de polynôme. Une expression comme moins un demi multiplié par 𝑧 est un polynôme. Car c’est un monôme. Donc, pour vérifier si une expression est un polynôme, il suffit de regarder chaque partie individuellement et vérifier si c’est un monôme.

Alors, voyons quelques exemples d’expressions qui ne sont pas des polynômes. Le premier exemple d’expression qui n’est pas un polynôme est 𝑥 puissance moins deux. Et la raison est que, pour que ce soit un polynôme, 𝑥 puissance moins deux doit être un monôme. Et pour rappel, dans un monôme, toutes les variables doivent avoir des exposants entiers non-négatifs. Cependant, dans ce cas, l’exposant de 𝑥 est moins deux. C’est négatif, donc ce n’est pas un monôme. Et par conséquent, cette expression n’est pas un polynôme.

Nous pouvons utiliser la même logique pour trouver d’autres exemples qui ne sont pas des polynômes, par exemple 𝑥 puissance un demi. Encore une fois, pour que ce soit un polynôme, 𝑥 puissance un demi doit être un monôme. Mais on sait que, l’exposant de 𝑥 doit être un entier non-négatif. Dans ce cas, c’est un demi. Ce n’est pas un entier, donc ce n’est pas un monôme. Et par conséquent, ce n’est pas un polynôme.

Et nous savons quelque chose sur 𝑥 puissance un demi. Grâce aux lois des exposants, on peut réécrire ceci comme racine carrée de 𝑥. Donc, nous savons aussi que la racine carrée de 𝑥 n’est pas un polynôme parce que l’exposant de 𝑥 n’est pas un entier. Mais alors, si on peut utiliser les lois des exposants, on peut faire exactement pareil pour 𝑥 puissance moins deux. On sait que, élever un nombre à la puissance moins deux équivaut à diviser par ce nombre élevé à l’exposant positif. Donc, un sur 𝑥 carré n’est pas non plus un polynôme. L’exposant de notre variable est négatif.

Nous allons donner un dernier exemple d’une expression qui n’est pas un polynôme. Considérons l’expression trois plus 𝑥𝑦 moins six fois 𝑥 puissance quatre multiplié par 𝑦 puissance moins un fois 𝑧 plus racine carrée de deux. On sait que, pour que ce soit un polynôme, il faut que ce soit la somme des monômes. Donc, nous allons analyser chaque partie pour vérifier si c’est un monôme. Nous allons commencer par trois. C’est une constante, c’est donc un monôme. Ensuite, on a 𝑥 multiplié par 𝑦. On sait que 𝑥 est équivalent à 𝑥 puissance un, et 𝑦 est équivalent à 𝑦 puissance un. Donc, l’exposant de 𝑥 et l’exposant de 𝑦 sont des entiers non-négatifs. Par conséquent, 𝑥 fois 𝑦 est aussi un monôme.

Cependant, nous voyons maintenant que nous avons un problème. Nous avons 𝑦 puissance moins un. Et on sait que, dans nos monômes, les variables ne peuvent pas avoir des exposants négatifs. Par conséquent, cette expression n’est pas un polynôme car l’une des variables a un exposant négatif.

Avant de continuer, il convient également de souligner qu’on appelle souvent chaque partie d’une expression un terme. Ainsi, par exemple, dans notre exemple le plus récent, l’expression contient quatre termes.

Maintenant que nous avons fait tout cela, nous pouvons définir quelques propriétés clés qui nous aideront à décrire certains attributs des polynômes. Tout d’abord, nous allons définir ce qu’on entend par le degré d’un polynôme. Le degré d’un polynôme est la plus grande somme des exposants de nos variables d’un seul terme. C’est une définition très compliquée. Cependant, on peut mieux la comprendre avec quelques exemples.

Commençons par déterminer le degré de quelques polynômes que nous avons déjà trouvés. Nous allons commencer par deux 𝑥. Tout d’abord, nous devons examiner terme par terme. Eh bien, ce polynôme n’a qu’un seul terme. Donc, on peut se focaliser sur deux 𝑥. Ensuite, nous devons trouver la somme des exposants des variables de ce terme. Pour ce faire, nous avons déjà vu qu’on peut écrire 𝑥 comme 𝑥 puissance un. Donc, en fait, cela n’a qu’une seule variable, et son exposant est un. Nous disons donc que le degré de deux 𝑥 est un.

Un autre exemple qu’on pourrait examiner est la constante trois. On sait qu’il s’agit d’un exemple de polynôme. Et au début, il peut sembler difficile de trouver le degré de ce polynôme. Comme il s’agit d’une constante, elle ne contient aucune variable. Alors, comment peut-on trouver la somme des exposants de toutes les variables ? Heureusement, grâce aux lois des exposants, on sait que 𝑥 puissance zéro est aussi égal à un. Donc, on peut réécrire trois comme trois fois 𝑥 puissance zéro. Ensuite, comme précédemment, on peut voir que le degré de ce polynôme sera zéro. Donc, nous avons pu montrer que le degré de ce polynôme est zéro. En fait, il en va de même pour toute constante. Si on la considère comme polynôme, alors le degré d’un polynôme constant est toujours égal à zéro.

Essayons maintenant de déterminer le degré d’un polynôme avec plus d’un terme. Essayons de déterminer le degré de deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus trois. Encore une fois, on sait que lorsqu’on cherche le degré d’un polynôme, on ne s’intéresse qu’à la plus grande somme des exposants des variables d’un seul terme. Ainsi, on peut examiner le degré de chaque terme séparément. Commençons donc par le premier terme de ce polynôme. Qui est deux 𝑥 au carré. Ce terme ne contient qu’une seule variable. Et on peut voir que son exposant est deux. Donc, le degré de deux 𝑥 au carré est égal à deux.

Maintenant, regardons notre deuxième terme. Eh bien, on peut voir qu’il s’agit de 𝑥. Et nous avons déjà vu qu’on peut l’écrire comme 𝑥 puissance un. Donc, son degré est un. Enfin, nous avons notre troisième et dernier terme. C’est une constante, donc son degré est égal à zéro. Le degré de ce polynôme sera la plus grande de ces valeurs. Donc, son degré sera deux. Par conséquent, nous avons pu montrer que le polynôme deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus trois est du second degré.

Mais jusqu’ici, nous n’avons vu que comment trouver le degré de polynômes où chaque terme ne contient qu’une seule variable. Et si nous essayions de déterminer le degré de racine de deux fois 𝑥 fois 𝑦 au carré ? On sait qu’on peut le faire terme par terme, et nous devons trouver la somme des exposants de nos variables. Donc, encore une fois, nous allons écrire 𝑥 comme 𝑥 puissance un. Ensuite, on additionne les exposants de nos variables. On a un plus deux, qui est bien sûr égal à trois. Par conséquent, le polynôme racine de deux fois 𝑥 fois 𝑦 au carré est de degré trois.

Il y a encore une chose que nous devons définir avant de résoudre quelques questions. On veut définir le facteur constant d’un terme comme le coefficient de ce terme. Une autre façon de le dire serait que le coefficient est le facteur numérique dans un terme algébrique. Cela apparaît généralement au début de notre terme. Par exemple, dans le terme deux 𝑥, on a un coefficient de deux. C’est le facteur constant de ce terme. De même, si on regarde le terme moins 𝑦 au carré, alors le coefficient de moins 𝑦 au carré est moins un. Dire le coefficient d’un terme nous donne un bon moyen d’expliquer la partie du terme qui ne varie pas lorsque nos variables changent.

Voyons maintenant quelques exemples de comment on utilise tout cela pour résoudre certaines questions.

Quelles des expressions ci-dessous sont des polynômes ? L’expression (A) 𝑥 au carré plus cinq 𝑥𝑦 moins deux. L’expression (B) 𝑥 au cube fois 𝑦 au carré. L’expression (C) 𝑥 puissance moins un fois 𝑦 puissance quatre. L’expression (D) cinq sur 𝑥 moins quatre 𝑥𝑦.

Pour répondre à cette question, nous devons d’abord rappeler que les polynômes sont des sommes des monômes. Et on sait que, les monômes sont le produit des constantes et des variables avec des exposants entiers non-négatifs. Donc, pour vérifier si ces quatre expressions sont des polynômes, on doit voir si l’une de nos variables a des exposants entiers non-négatifs.

Si on commence par l’expression (A), on peut voir que c’est bien la somme des monômes. Toutes nos variables ont des exposants entiers positifs. Ainsi, l’expression (A) est la somme des monômes. Par conséquent, c’est un polynôme. Et il en va de même pour l’expression (B). Les exposants trois et deux sont tous deux des entiers positifs.

Cependant, dans l’expression (C), on peut voir que l’exposant de 𝑥 est moins un. Et si l’une de nos variables contient un exposant négatif, alors ce n’est pas un monôme. Donc, l’expression (C) n’est pas un polynôme. On peut voir quelque chose de très similaire pour l’expression (D). Si on utilise les lois des exposants, on sait que diviser par 𝑥 est l’équivalent de multiplier par 𝑥 puissance moins un. Mais cela signifie que dans ce terme, il y a un exposant négatif de notre variable 𝑥. Donc, cinq sur 𝑥 n’est pas un monôme. Par conséquent, l’expression (D) n’est pas la somme des monômes, donc elle n’est pas un polynôme.

Par conséquent, nous avons pu démontrer que, sur les quatre expressions données, seules les expressions (A) et (B) sont des polynômes.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on détermine le degré d’un polynôme.

Déterminez le degré de 𝑦 puissance quatre moins sept 𝑦 au carré.

Dans cette question, on nous demande de déterminer le degré d’une expression algébrique. Et on peut voir quelque chose d’intéressant à propos de cette expression. Toutes nos variables ont des exposants entiers positifs. En d’autres termes, cette expression est la somme des monômes. Donc, il s’agit d’un polynôme. Alors, on nous demande de trouver le degré d’un polynôme. Pour ce faire, commençons par rappeler ce qu’on entend par le degré d’un polynôme.

Nous rappelons que le degré d’un polynôme est la plus grande somme des exposants des variables d’un seul terme. Cela signifie qu’on examine chaque terme, qu’on additionne tous les exposants de nos variables et qu’on veut trouver la plus grande valeur que cela nous donne. Commençons donc par le premier terme de notre expression, 𝑦 puissance quatre.

Dans ce cas, il n’y a qu’une seule variable et son exposant est quatre, donc le degré de 𝑦 puissance quatre est quatre. Ensuite, regardons notre deuxième terme, moins sept 𝑦 au carré. Encore une fois, il n’y a qu’une seule variable, et on peut voir son exposant. Son exposant est deux. Donc, le degré de moins sept 𝑦 au carré est égal à deux. Et le degré de notre polynôme est le plus grand de ces nombres. Par conséquent, son degré est de quatre.

Et en fait, on peut utiliser exactement la même méthode pour trouver le degré de tout polynôme avec une seule variable. Son degré sera simplement le plus grand exposant de cette variable qui est dans notre polynôme. Par conséquent, nous avons pu démontrer que 𝑦 puissance quatre moins sept 𝑦 au carré est un polynôme du quatrième degré.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on cherche le degré et coefficient d’un monôme.

Déterminez le coefficient et le degré de moins sept 𝑥 au cube.

On nous donne une expression algébrique, moins sept 𝑥 au cube, et on nous demande de déterminer son coefficient et son degré. Tout d’abord, on peut voir que l’expression ne contient qu’un seul terme. Et on peut voir que notre variable 𝑥 est à la puissance trois. Comme il s’agit d’un entier positif, cela signifie qu’il s’agit d’un monôme ou d’un polynôme. Commençons donc par rappeler ce qu’on entend par le coefficient d’un monôme. C’est le facteur numérique de notre monôme. Dans notre cas, nous pouvons voir que le facteur numérique est moins sept. Donc, le coefficient de ce monôme est moins sept.

Déterminons maintenant le degré de ce monôme. On peut écrire la définition complète du degré d’un polynôme. Cependant, on remarque que le monôme ne contient qu’une seule variable. Donc, en réalité, il existe un moyen plus facile de déterminer le degré. Lorsque notre polynôme ne contient qu’une seule variable, le degré de ce polynôme sera toujours le plus grand exposant de cette variable. Et dans ce cas, notre variable n’apparait qu’une fois. Et son exposant est trois parce qu’on a 𝑥 au cube. Par conséquent, nous avons pu démontrer que le coefficient de moins sept 𝑥 au cube est moins sept et le degré de moins sept 𝑥 au cube est de trois.

Voyons maintenant comment utiliser la définition du degré pour trouver la valeur d’une constante.

Si le degré de sept 𝑥 puissance cinq est égal à celui de moins six 𝑦 puissance 𝑛, quelle est la valeur de 𝑛 ?

On a deux expressions algébriques. Et on sait que les deux ont le même degré. Pour répondre à cette question, nous devons d’abord trouver le degré de sept 𝑥 puissance cinq. Nous pouvons voir que c’est un monôme car c’est un terme et l’exposant de 𝑥 est cinq, ce qui est un entier positif. Maintenant, on peut utiliser le fait qu’il s’agisse d’un polynôme pour trouver le degré de cette expression en tant que polynôme. Cependant, on peut également utiliser une définition équivalente car notre expression ne contient qu’un seul terme.

Le degré d’un terme algébrique est la somme des exposants de toutes les variables de ce terme. Et cela nous donnera la même réponse que le degré de notre polynôme car il n’a qu’un seul terme. On peut voir que l’exposant de notre variable est cinq. Par conséquent, sept puissance cinq est de degré cinq. Mais alors, la question nous dit que moins six 𝑦 puissance 𝑛 a le même degré. Donc, ça doit aussi être de degré cinq. Et puis, étant donné que c’est aussi un terme singulier, la somme de tous les exposants des variables doit être égale à cinq.

Mais nous pouvons voir que notre variable n’a qu’un seul exposant, l’inconnu 𝑛. Par conséquent, pour que sept 𝑥 puissance cinq et moins six 𝑦 puissance 𝑛 aient le même degré, il faut que 𝑛 soit égal à cinq.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on cherche le nombre de termes dans une expression algébrique.

Combien de termes y a-t-il dans l’expression quatre 𝑥 moins 𝑦 au carré plus 27 ?

Pour répondre à cette question, nous devons d’abord rappeler ce qu’on entend par terme. Et en mathématiques, les termes sont l’un de ces mots qui ont plusieurs définitions différentes selon le contexte. Dans ce contexte, on nous demande le nombre de termes dans une expression algébrique. Et cela peut signifier deux choses. Cela pourrait être le nombre de monômes dans notre expression, ou le nombre d’expressions similaires dans notre expression. Dans ce cas, les deux nous donneront la même réponse. Nous allons simplement utiliser le nombre de monômes dans notre expression.

On sait qu’un monôme est le produit entre des constantes et des variables avec des exposants entiers non-négatifs. Nous pouvons voir que dans notre cas, il y a trois monômes dans cette expression. Quatre 𝑥 est un monôme parce qu’on peut écrire 𝑥 comme 𝑥 puissance un. Moins 𝑦 au carré est un monôme car moins un est une constante et deux est un entier non-négatif. Enfin, 27 est un monôme car 27 est une constante. Par conséquent, étant donné que notre expression content trois monômes, nous avons pu montrer qu’il y a trois termes dans cette expression.

Parfois, on pourrait aussi nous demander de choisir des informations spécifiques sur notre polynôme. Voyons un exemple de cela.

Quel est le terme constant dans l’expression quatre 𝑥 moins 𝑦 au carré plus 27 ?

Pour répondre à cette question, nous devons d’abord rappeler ce qu’on entend par le terme constant dans une expression. Premièrement, une constante est quelque chose dont la valeur ne change pas. Par exemple, dans notre expression, on appelle 𝑥 et 𝑦 variables car elles peuvent prendre plusieurs différentes valeurs. Cependant, un nombre comme 27 ne change pas lorsque les valeurs de 𝑥 ou 𝑦 changent. C’est toujours égal à 27.

Ensuite, nous devons également nous rappeler ce qu’on entend par terme. Dans ce contexte, lorsqu’on parle de terme, on parle des parties qu’on additionne pour constituer notre expression. Ainsi, quatre 𝑥 est un terme, moins 𝑦 au carré est un terme et 27 est un terme. Alternativement, nous pouvons penser à chaque monôme comme un terme. On peut voir que quatre 𝑥 varie lorsque la valeur de 𝑥 change et que 𝑦 au carré change lorsque la valeur de 𝑦 change. Donc, seul 27 reste constant. Par conséquent, le terme constant dans l’expression quatre 𝑥 moins 𝑦 au carré plus 27 est 27.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons défini un polynôme comme étant la somme d’un ou plusieurs monômes. Et, un monôme est le produit entre des constantes et des variables, où nos variables ont toutes des exposants non-négatifs. Ensuite, nous avons également défini le degré d’un polynôme. Le degré d’un polynôme est la plus grande somme des exposants des variables d’un terme de notre polynôme.

Et cela nous a donné deux résultats utiles. Premièrement, si le polynôme n’a qu’un terme, alors on peut simplement additionner les exposants des variables de ce terme pour trouver son degré. Et nous avons également vu que si le polynôme ne contient qu’une variable, alors pour trouver son degré, il suffit de trouver le plus grand exposant de cette variable qui est dans notre polynôme.

Enfin, nous avons défini le coefficient d’un terme comme étant le facteur numérique de ce terme. Une autre façon de considérer cela est que le coefficient d’un terme est le nombre utilisé pour multiplier une des variables. Et nous savons que cela est généralement écrit devant notre terme pour éviter toute confusion. Mais ce n’est pas toujours écrit devant. Par exemple, le terme 𝑥 sur deux a pour coefficient un demi car on multiplie 𝑥 par un demi.

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