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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une fonction polynomiale Mathématiques

Déterminez lim_ (𝑥 → −5) (−9𝑥² - 6𝑥 - 9).

04:55

Transcription de vidéo

Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins neuf.

La première étape consiste à écrire à nouveau cette limite, et nous pouvons appliquer la propriété de la différence des limites, qui dit que la limite d’une différence de fonctions est égale à la différence des limites de ces fonctions. Donc, en définissant 𝑓 de 𝑥 égal à moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égal à neuf, nous obtenons que la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins neuf est égale à la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de neuf.

Alors maintenant, à la place d’une limite très compliquée, on a deux limites plus simples. Et en fait, nous pouvons également écrire la première limite comme la différence de deux limites, en prenant 𝑓 de 𝑥 égal à moins neuf 𝑥 au carré et 𝑔 de 𝑥 égal à six 𝑥. Et ainsi nous obtenons la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré moins la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de six 𝑥 moins la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de neuf. Et en comparant cela avec ce que nous avions au début, nous voyons que nous aurions pu le faire en une seule étape.

La limite d’une somme ou d’une différence d’un nombre quelconque de termes est égale à la somme ou à la différence, le cas échéant, des limites de ces termes. Nous pouvons maintenant passer à l’évaluation de la limite de chaque terme individuellement. Et donc pour le premier terme, la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré, nous pouvons appliquer la propriété du multiple constant, qui dit que la limite d’une fonction multipliée par une constante est égale à la même constante fois la limite de cette fonction.

Donc, en prenant 𝑘 égal à moins neuf et 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑥 au carré, nous obtenons que la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré est égale à moins neuf fois la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑥 au carré. Nous pouvons appliquer la même propriété à la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de six 𝑥. Cela devient six fois la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑥. Et enfin, nous ajoutons la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de neuf.

Nous pouvons utiliser la propriété de la puissance pour réécrire le premier terme. La limite d’une fonction élevée à une certaine puissance est égale à la limite cette même fonction élevée à la même puissance. Ainsi, en fixant 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑥 et 𝑛 égal à deux, le premier terme devient moins neuf fois la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑥 au carré. Nous reportons les deux autres termes sans changement par rapport à la ligne précédente. Et maintenant, nous pouvons voir que les seules limites que nous devons trouver sont la limite de la fonction identité, 𝑥, quand 𝑥 tend vers moins cinq.

Nous en avons deux, et la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de la fonction constante neuf. Et heureusement, nous savons calculer les valeurs de ces deux limites. La limite de la fonction identité 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑐 est simplement 𝑐, et la limite d’une fonction constante 𝑘 quand 𝑥 tend vers 𝑐 est la valeur de cette constante 𝑘. Dans notre cas, 𝑐 est égal à moins cinq, donc la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑥 est moins cinq. Ainsi, les deux premiers termes deviennent moins neuf fois moins cinq au carré moins six fois moins cinq.

Et en prenant 𝑘 pour neuf, nous avons la limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de neuf qui est neuf. Donc, finalement, nous nous sommes débarrassés de toutes les limites et nous avons une expression numérique que nous pouvons facilement calculer. Avant de faire cela, notons simplement que cette expression est exactement ce qu’on pouvait obtenir si on prenait la fonction dont on doit calculer la limite et qu’on y substituait la valeur de l’abscisse du point limite moins cinq. La limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de cette fonction est simplement la fonction évaluée au point moins cinq.

L’ensemble des fonctions pour lesquelles cela est vrai est un ensemble de fonctions, que vous rencontrerez bientôt si vous ne l’avez pas déjà fait, et cet ensemble de fonctions comprend toutes les fonctions polynômes. Donc, pour trouver la limite d’une fonction polynomiale, il suffit de substituer le point limite. Ce n’est pas vrai pour toutes les fonctions, mais c’est toujours le cas pour les fonctions polynomiales. Quoi qu’il en soit, finissons de calculer notre réponse finale. En insérant cette expression dans notre calculatrice, nous obtenons moins 204. La limite quand 𝑥 tend vers moins cinq de moins neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins neuf est moins 204.

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