Transcription de la vidéo
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝐴𝐵 est égal à 20 centimètres, 𝐵𝐶 est égal à 25 centimètres et 𝐶𝐴 est égal à 15 centimètres. Des forces d’intensités 120, 150 et 90 newtons agissent respectivement le long des vecteurs 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐴, et le système équivaut à un couple. Déterminez les intensités des deux forces parallèles qui mettront le système en équilibre si elles agissent en 𝐵 et 𝐶 perpendiculairement à 𝐵𝐶.
Commençons par un schéma du scénario. Nous avons le triangle 𝐴𝐵𝐶 de côtés 𝐴𝐵 égale 20 centimètres, 𝐵𝐶 égale 25 centimètres et 𝐶𝐴 égale 15 centimètres. La force le long de 𝐴𝐵 est de 120 newtons. La force le long de 𝐵𝐶 est de 150 newtons. Et la force le long de 𝐶𝐴 est de 90 newtons. Nous avons deux forces parallèles 𝐹 un et 𝐹 deux, agissant à partir des points 𝐵 et 𝐶 et perpendiculaires à 𝐵𝐶. Les autres forces agissant sur le triangle sont équivalentes à un couple. Ainsi, afin de mettre le système en équilibre, les deux forces agissant en 𝐵 et 𝐶 doivent également être équivalentes à un couple de même norme mais de direction opposée. Donc 𝐹 un est égal à 𝐹 deux. Appelons cette valeur juste 𝐹.
Pour trouver l’intensité 𝐹, nous devons trouver la norme du couple formé par les autres forces agissant sur le triangle. Pour ce faire, nous pouvons calculer les moments des trois forces autour d’un point de notre choix, puis les additionner. Calculons les moments des trois forces autour du point 𝐴, en prenant la convention selon laquelle les moments dans le sens antihoraire sont positifs.
Rappelons que la norme du moment 𝑀 d’une force 𝐹 agissant en un point 𝑝 est égale à la norme de la force 𝐹 multipliée par la distance perpendiculaire 𝑑 entre le point pivot 𝑜 et la droite d’action de 𝐹. Les lignes d’action des forces de 90 newtons et 120 newtons passent par le point 𝐴. Donc, leurs distances perpendiculaires à 𝐴 sont toutes les deux nulles. Et par conséquent, leurs moments autour de 𝐴 sont aussi tous les deux nuls. La seule force qui a un moment non nul autour de 𝐴 est la force de 150 newtons. Nous devons trouver la distance perpendiculaire à la ligne d’action de cette force jusqu’au point 𝐴. Cela équivaut à trouver la hauteur du triangle avec la ligne 𝐵𝐶 comme base.
Rappelons que la hauteur d’un triangle scalène, c’est-à-dire un triangle à trois côtés de longueurs différentes, est donnée par deux sur 𝑏 multiplié par la racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 est le demi-périmètre du triangle. Et 𝑏 est la base du triangle. Et où 𝑎 et 𝑐 sont les deux autres côtés du triangle. Le demi-périmètre, 𝑠, est la moitié du périmètre du triangle, qui est égal à 15 plus 20 plus 25 sur deux, ce qui est égal à 30 centimètres. Et 𝑏 est la longueur de la ligne de base 𝐵𝐶, qui est de 25 centimètres. Et enfin 𝑎 et 𝑐 sont les longueurs des deux autres côtés, qui sont de 20 centimètres et 15 centimètres.
Ainsi, la hauteur du triangle, qui équivaut à la distance perpendiculaire 𝑑 entre le point pivot 𝐴 et la ligne d’action de la force de 150 newtons, est donnée par deux sur 25 multiplié par la racine carrée de 30 fois 30 moins 20 fois 30 moins 25 fois 30 moins 15. Cela mène au joli nombre rond, 12 centimètres. L’intensité du moment 𝑀 est donc donnée par l’intensité de la force, 150, multipliée par cette distance perpendiculaire, 12, ce qui est égal à 1800 newton-centimètres. Par conséquent, l’intensité du moment résultant sur le système est de 1800 newton-centimètres. Et la grandeur du couple des deux forces parallèles introduites aux points 𝐴 et 𝐵 doit donc également être de 1800 newton-centimètres.
Rappelons que la norme d’un couple agissant en deux points 𝐵 et 𝐶 avec les forces à un angle thêta entre leurs lignes d’action et la ligne 𝐵𝐶 est égale à l’intensité de l’une des forces, 𝐹, multipliée par la longueur de la ligne 𝐵𝐶 multiplié par sinus thêta. Dans ce cas, les deux forces sont perpendiculaires à la droite 𝐵𝐶. Ainsi, l’angle thêta est égal à 90 degrés, et donc sinus thêta est égal à un. On peut donc simplifier cela en 𝐹 fois la longueur de la droite 𝐵𝐶. Nous pouvons réorganiser cette équation en 𝐹 pour donner 𝐹 égale la valeur du couple, 𝑀 𝐵𝐶, sur la longueur de la droite 𝐵𝐶. Cela équivaut à 1800 sur 25. Par conséquent, les intensités des deux forces parallèles qui mettraient le système en équilibre sont toutes deux de 72 newtons.
