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Vidéo de question : Simplifier les expressions en évaluant les factorielles Mathématiques

Simplifiez l’expression (6!/4!) − (27!/28!). Donnez votre réponse sous forme de fraction.

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Transcription de vidéo

Simplifiez l’expression factorielle six sur factorielle quatre moins factorielle 27 sur factorielle28. Donnez votre réponse sous forme de fraction.

Donc, la première chose pour cette question, c’est que nous devons comprendre qu’une notation a été utilisée. Et dans cette question, nous utilisons quelque chose appelé factorielle. Maintenant, si nous avons factorielle 𝑛, et que c’est égal à 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux, puis multiplié par 𝑛 moins trois, etc. Et cela continue jusqu’à ce que vous obteniez deux multipliés par un. Par exemple, si nous avons factorielle quatre, c’est égal à quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un. Très bien, nous savons ce que signifie la notation. Alors maintenant, essayons de résoudre le problème.

Eh bien, avant de travailler sur notre problème, je veux juste simplifier un peu. Alors pensons à factorielle six. Factorielle six, c’est six multiplié par cinq multiplié par quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un. Mais nous pourrions aussi l’écrire comme six multiplié par cinq multiplié par factorielle quatre. En effet, factorielle quatre, c’est quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un. Et ça va être utile dans notre question parce que nous avons factorielle quatre au dénominateur. Et nous pouvons faire la même chose avec le deuxième terme parce que nous avons factorielle 27 au numérateur. Mais le dénominateur est factorielle 28. Et nous pourrions écrire ceci comme 28 multiplié par factorielle 27.

Alors maintenant, nous pouvons diviser chaque terme par des facteurs communs. Donc, pour le terme de gauche, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par factorielle quatre. Et avec le terme de droite, nous pouvons alors diviser le numérateur et le dénominateur par factorielle 27. Et lorsque nous faisons cela, nous obtenons 30 moins un sur 28. Et puis si nous convertissons 30 en des 28, nous aurons 840 sur 28 moins un sur 28. Eh bien, nous pourrions le faire en utilisant une calculatrice en multipliant 30 par 28. Mais aussi nous pouvons le faire par calcul mental parce que si vous avez trois multiplié par 28, c’est la même chose que trois multiplié par 20 plus trois multiplié par huit, ce qui donne 60 plus 24 qui est égal à 84.

Donc, par conséquent, 30 multiplié par 28 va être égal à 84 multiplié par 10. Et c’est parce que 30 est 10 fois plus grand que trois. Et cela nous donne les 840 que nous recherchions. Nous pouvons donc dire que l’expression factorielle six sur factorielle quatre moins factorielle 27 sur factorielle 28 est égale à 839 sur 28. Et c’est parce que 840 sur 28 moins un sur 28 est égal à 839 sur 28. Et nous l’avons trouvé sous la bonne forme parce que la question nous demande de donner notre réponse sous forme de fraction.

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