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Si un électron dans un atome d’hydrogène est à une distance de 1,32 nanomètres du noyau, dans quel niveau d’énergie est-il ? Utilisez une valeur de 5,29 fois 10 puissance moins 11 mètres pour le rayon de Bohr.
Un atome d’hydrogène neutre a un proton dans son noyau et un électron en orbite. Selon le modèle de Bohr de l’atome, cet électron se déplace autour du noyau en orbite circulaire. En tant que tel, il a un rayon orbital, et ce rayon est donné par l’équation générale suivante. Le rayon orbital d’un électron dans le 𝑛ième niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène, 𝑟 indice 𝑛, est égal à ce que l’on appelle le rayon de Bohr multiplié par 𝑛 au carré. Le rayon de Bohr est le rayon orbital d’un électron dans un atome d’hydrogène s’il est à l’état fondamental. Cet état a une valeur de nombre quantique principal de un. Et si nous substituons 𝑛 par un dans cette équation, nous voyons qu’en effet le rayon orbital d’un électron du premier niveau d’énergie dans un atome d’hydrogène, c’est-à-dire l’état fondamental, est égal au rayon de Bohr.
Dans notre cas, on nous donne une valeur pour 𝑟 indice 𝑛 de 1,32 nanomètre. De notre équation, nous savons que cela est égal au rayon de Bohr 𝑎 indice zéro fois 𝑛 au carré. Ici, nous voulons déterminer le nombre quantique principal 𝑛 correspondant au niveau d’énergie de notre électron. Si nous divisons les deux côtés de cette équation par le rayon de Bohr 𝑎 indice zéro, annulant ainsi ce facteur à droite, et si nous prenons alors la racine carrée des deux côtés pour que la racine carrée de 𝑛 au carré soit égale à 𝑛, nous trouvons que le niveau d’énergie 𝑛 est égal à la racine carrée de 𝑟 indice 𝑛 divisé par 𝑎 indice zéro.
Comme nous l’avons vu, le rayon orbital de notre électron est de 1,32 nanomètres. Et le rayon de Bohr 𝑎 indice zéro est de 5,29 fois 10 puissance moins 11 mètres. Pour avancer dans ce calcul, convertissons les unités de notre numérateur de nanomètres en mètres. Un nanomètre, rappelons-le, est égal à un milliardième de mètre. Et donc 1,32 nanomètres égale 1,32 fois 10 puissance moins neuf mètres.
Notez que maintenant les unités de notre expression s’annulent entièrement, de sorte que 𝑛 sera sans unité. Lorsque nous calculons 𝑛 au nombre entier le plus proche, il est égal à cinq. C’est le niveau d’énergie de l’électron dans notre atome d’hydrogène.
