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Vidéo de la leçon : Réciproque du théorème de Pythagore Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour déterminer si un triangle est rectangle.

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Transcription de vidéo

Donc, dans cette leçon, nous allons étudier la réciproque du théorème de Pythagore. Mais quelle est la réciproque du théorème de Pythagore ?

Eh bien, la réciproque du théorème de Pythagore est là où nous utilisons le théorème de Pythagore pour prouver si un triangle est un triangle rectangle ou non. Eh bien, tout d’abord, nous devons nous rappeler ce qu’est le théorème de Pythagore. Et le théorème de Pythagore est 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré, où 𝑐 est l’hypoténuse, qui est le côté le plus long opposé à l’angle droit. Et 𝑎 et 𝑏 sont les deux autres côtés. Et peu importe lequel est lequel. Et il convient de noter que le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle.

Qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, cela signifie que la somme des aires des carrés sur les deux côtés les plus courts est égale à l’aire du carré formé sur le côté le plus long, l’hypoténuse. Donc, si nous avons un triangle où cela ne fonctionne pas, alors 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré n’est pas égal à 𝑐 au carré, donc nous pouvons conclure que ce ne sera pas un triangle rectangle.

D’accord, génial. Donc, maintenant, nous savons ce que c’est et comment nous allons l’utiliser. Voyons comment tout cela fonctionne.

Le théorème de Pythagore stipule que, dans un triangle rectangle, l’aire d’un carré sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés sur les côtés. Est-ce que cela signifie qu’un triangle où 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est nécessairement un triangle rectangle ? Supposons que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est de longueurs latérales 𝑎, 𝑏 et 𝑐 avec 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Soit le triangle 𝐷𝐵𝐶 un triangle rectangle de longueurs latérales 𝑎, 𝑏 et 𝑑. Partie (1) En utilisant le théorème de Pythagore, que pouvez-vous dire sur la relation entre 𝑎, 𝑏 et 𝑑 ?

Dans ce problème, nous avons la question, cela signifie-t-il qu’un triangle où 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est nécessairement un triangle rectangle ? Et ce que nous allons faire est que nous allons répondre à cette question à travers chacune des étapes de ce problème. Eh bien, comme l’indique la question, le théorème de Pythagore dit que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Eh bien, c’est là que 𝑐 est l’hypoténuse. Et l’hypoténuse est le côté le plus long opposé à l’angle droit.

Eh bien, dans ce côté orange ici, c’est 𝑑 qui est notre hypoténuse car il est opposé à l’angle droit et c’est le côté le plus long. Donc, comme on nous dit que le triangle 𝐷𝐵𝐶 est un triangle rectangle, cela peut nous donner une relation. Et c’est que 𝑑 au carré va être égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, ce qui signifie que nous avons répondu à la première partie de la question.

Passons maintenant à la deuxième partie de la question.

Nous savons que pour le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Que concluez-vous de 𝑑 ?

Eh bien, si nous avons 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, ce que nous pouvons faire, c’est que nous pouvons utiliser une substitution. Parce que ce que nous pouvons faire, c’est que nous pouvons remplacer 𝑑 au carré pour 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, car nous savons que 𝑑 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Alors, ce que nous allons avoir est 𝑐 au carré égale 𝑑 au carré. Donc, maintenant, nous pouvons former une relation entre 𝑐 et 𝑑. Et que si l’on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation, il va nous rester 𝑐 est égal à 𝑑. Et nous pouvons ignorer les valeurs négatives car nous examinons les longueurs. Eh bien, par conséquent, nous avons répondu à cette partie de la question car nous avons conclu à propos de 𝑑 que 𝑑 est égal à 𝑐.

Bon, alors passons à la partie suivante.

Eh bien, la partie suivante de la question, est-il possible de construire différents triangles avec des côtés de même longueur ?

Eh bien, la réponse est non. Et c’est parce que si deux triangles ont des côtés de même longueur, et ils sont en fait superposables. C’est parce que c’est l’un des moyens que nous utilisons pour prouver la superposition. Parce que cela s’appelle CCC, et cela signifie côté-côté-côté. Et si deux choses sont superposables, cela signifie qu’elles sont exactement les mêmes. Nous avons donc répondu à cette partie de la question.

Passons à la partie suivante.

Alors, pour la dernière partie de la question, que concluez-vous du triangle 𝐴𝐵𝐶 ?

Eh bien, nous savons que le triangle 𝐷𝐵𝐶 et le triangle 𝐴𝐵𝐶 ont tous deux la même longueur 𝑎. Ils ont tous deux la même longueur 𝑏. Et nous avons déjà indiqué que 𝑑 est égal à 𝑐. Donc, tout d’abord, nous devons dire qu’il est superposable au triangle 𝐷𝐵𝐶. Et c’est parce que tous les côtés sont les mêmes. Donc, si ils sont superposables, ce que nous pouvons dire, c’est que le triangle 𝐴𝐵𝐶 a un angle droit en 𝐶.

Donc, ce que nous avons fait ici, c’est que nous avons montré une façon de démontrer le théorème de Pythagore. Et nous avons également répondu à la question, cela signifie-t-il qu’un triangle où 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est nécessairement un triangle rectangle ? Et la réponse est oui, il l’est. Et nous l’avons montré à chacune de nos étapes. Donc, par conséquent, notre conclusion complète sur le triangle 𝐴𝐵𝐶 est qu’il est superposable au triangle 𝐷𝐵𝐶. Donc, il a un angle droit en 𝐶.

Donc, très bien, nous avons maintenant montré le théorème de Pythagore. Mais ce que nous voulons faire maintenant, c’est voir comment nous pouvons l’utiliser pour prouver si un triangle est en fait un triangle rectangle ou non. Alors, ce que nous allons faire dans ce problème est que nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer si un triangle pourrait en fait être un triangle rectangle.

Les longueurs de 7,9 centimètres, 8,1 centimètres et 5,3 centimètres peuvent-elles former un triangle rectangle ?

Eh bien, la première chose que nous pourrions dire à propos de ces trois longueurs est que nous pouvons certainement former un triangle avec elles. Et c’est parce que lorsque nous additionnons les deux côtés les plus courts, nous obtenons 13,2. Et 13,2 est supérieur à 8,1, ce qui est l’autre côté. Donc, par conséquent, nous savons que nous pourrions former un triangle parce que s’il était inférieur à 8,1, nous ne pourrions pas les réunir. Donc, nous ne pouvions pas former un triangle. Et si elle était égale à 8,1, elle formerait simplement une droite. D’accord, génial. Nous savons que nous pouvons former un triangle, mais voyons si nous pouvons le former.

Donc, la première chose que nous allons faire est de rappeler le théorème de Pythagore. Et cela indique que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑐 est notre côté le plus long ou l’hypoténuse. Et donc, ce qu’il dit, c’est que la somme de l’aire des carrés des deux côtés les plus courts est égale à la somme de l’aire du carré du côté le plus long. Donc, par conséquent, dans notre question, nous pouvons dire que si nous mettons au carré 5,3 et 7,9 et les additionnons ensemble, cela doit être égal au carré de 8,1 si nous voulons que ce soit un triangle rectangle. Et le moyen de le prouver de cette façon consiste à utiliser ce qu’on appelle la réciproque du théorème de Pythagore.

Donc, la première chose que nous allons calculer est de 7,9 au carré plus 5,3 au carré, ce qui nous donne 62,41 plus 28,09, ce qui est égal à 90,5. Donc, maintenant, ce que nous voulons faire, c’est que nous voulons déterminer le carré du côté le plus long, qui est 8,1. Eh bien, on peut déjà estimer de voir que ce ne sera pas le même que 90,5. Parce que si nous pensons à 8,1 au carré, eh bien, c’est presque égal à huit au carré. Et huit au carré est égal à 64. Donc, par conséquent, notre valeur va certainement être inférieure à 90,5, car elle est de 65,61. Par conséquent, nous pouvons conclure que la somme des carrés des deux côtés les plus courts ne va pas être égale à la somme du carré du côté le plus long parce que 90,5 n’est pas égal à 65,61. Donc, nous ne pouvons donc pas former un triangle rectangle avec ces trois longueurs.

Et nous aurions pu le deviner depuis le début. Parce que si nous regardons les valeurs que nous avons, nous avons 7,9 et 5,3. Eh bien, 7,9 est très proche de huit. Ainsi, si nous allons avoir huit au carré plus 5,3 au carré va être supérieur à 8,1 au carré parce que, encore une fois, 8,1 au carré est très proche de huit au carré. Cela aurait donc été une bonne hypothèse que nous aurions pu avoir dès le départ.

D’accord, génial. Nous avons donc montré que nous pouvons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer s’il s’agit d’un triangle rectangle ou non. Mais maintenant, ce que nous allons faire est que nous allons jeter un oeil à une question qui est un peu plus compliquée. Ainsi, nous pouvons utiliser quelques compétences supplémentaires en plus de notre théorème de Pythagore.

Dans le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷, supposons que 𝐴𝐸 est égal à huit, 𝐷𝐸 est égal à deux et 𝐷𝐶 est égal à quatre. Le triangle 𝐵𝐸𝐶 est-il un triangle rectangle ?

Eh bien, la première chose que nous allons faire dans cette question est d’ajouter les informations que nous connaissons. Eh bien, premièrement, nous savons que 𝐴𝐸 est égal à huit. Ensuite, nous savons que 𝐷𝐸 est égal à deux. Puis, on nous dit que 𝐷𝐶 est égal à quatre. D’accord, parfait. C’est tout ce que l’on nous a dit. Mais nous pouvons également les utiliser pour déduire quelques informations supplémentaires. Eh bien, tout d’abord, 𝐴𝐵 doit également être quatre. C’est parce que c’est un rectangle. Donc, 𝐴𝐵 doit être égal à 𝐷𝐶. Et 𝐵𝐶 doit être égal à deux plus huit car ce sont ces deux valeurs additionnées car elles sont identiques aux longueurs de 𝐴𝐸 et 𝐷𝐸 ensemble. Donc, ça va avoir une longueur de 10.

Donc, nous avons maintenant étiqueté tous nos côtés. Et ce que nous pouvons faire, c’est maintenant marquer quelques angles droits qui vont s’avérer utiles. Et nous pourrions le faire parce que nous savons que c’est un rectangle. Ainsi, un rectangle aurait un angle droit à chacun de ses coins. Donc, ce qu’on nous demande de faire dans cette question est de déterminer si le triangle 𝐵𝐸𝐶 est un triangle rectangle ou non. Et la façon dont nous pouvons le faire est d’utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Et le théorème de Pythagore stipule que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑐 est notre hypoténuse.

Et ce que nous entendons par la réciproque, c’est que si ce n’est pas vrai, il ne peut donc pas s’agir d’un triangle rectangle car le théorème de Pythagore n’est vrai que pour les triangles rectangles. Eh bien, pour ce faire et l’utiliser pour voir si le triangle 𝐵𝐸𝐶 est, en fait, un triangle rectangle, eh bien, ce que nous devrons faire est de déterminer chacune des longueurs. Et comme nous ne connaissons pas les longueurs 𝐶𝐸 ou 𝐵𝐸, nous allons devoir les déterminer en premier.

Eh bien, ce que nous allons faire est que nous allons commencer par le côté 𝐶𝐸. Et nous pouvons le déterminer en formant le triangle 𝐶𝐷𝐸. Et c’est un triangle rectangle, car comme nous l’avons montré, il y a un angle droit en haut à gauche. Donc, ce que nous pouvons faire, c’est que nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de 𝐶𝐸. Donc, nous pouvons dire que 𝐶𝐸 au carré va être égal à deux au carré plus quatre au carré. Et c’est parce que 𝐶𝐸 est notre hypoténuse car il est opposé à l’angle droit et au côté le plus long. Donc, 𝐶𝐸 au carré va être égal à quatre plus 16, ce qui va être égal à 20.

Maintenant, en fait, nous n’avons pas vraiment à découvrir ce qu’est 𝐶𝐸. Parce que quand nous allons travailler la partie suivante, nous allons regarder au triangle 𝐵𝐸𝐶. Nous allons avoir chacun des côtés au carré. Donc, nous pouvons garder cette réponse que nous avons ici. Si nous voulions déterminer ce qu’était 𝐶𝐸, nous prenons simplement ici la racine carrée des deux côtés de cette équation. Et si nous faisions cela, nous obtiendrions deux valeurs parce que nous pourrions obtenir une négative ou une positive. Mais nous pourrions ignorer la valeur négative car nous examinons une longueur. Nous avons besoin des valeurs positives.

D’accord, génial. Donc, maintenant, nous avons les informations dont nous avons besoin parce que nous savons ce que 𝐶𝐸 - enfin, plus important encore, ce que 𝐶𝐸 au carré - est égal à. Alors maintenant, passons à autre chose et découvrons 𝐵𝐸. Et pour ce faire, ce que nous pouvons faire, c’est regarder ce triangle rectangle que nous avons sur le côté droit de notre rectangle parce que nous avons le triangle 𝐴𝐵𝐸. Donc, ce que nous pouvons dire, c’est que 𝐵𝐸 au carré va être égal à huit au carré plus quatre au carré. Donc, 𝐵𝐸 au carré va être égal à 64 plus 16. Donc, 𝐵𝐸 au carré va être égal à 80. Donc, comme avant, c’est tout ce dont nous avons besoin pour ce problème. Cependant, nous aurions pu faire la même chose que la dernière fois et prendre la racine des deux côtés pour déterminer ce qu’était 𝐵𝐸.

Donc, maintenant, ce que nous pouvons faire, c’est utiliser toutes les informations dont nous disposons pour déterminer si le triangle 𝐵𝐸𝐶 est, en fait, un triangle rectangle. Parce que si c’est le cas, alors 𝐶𝐸 au carré plus 𝐵𝐸 au carré va être égal à 𝐵𝐶 au carré parce que 𝐵𝐶 est le côté le plus long. Eh bien, tout d’abord ce que nous allons faire est de calculer 𝐶𝐸 au carré plus 𝐵𝐸 au carré. Eh bien, ça va être 20 plus 80 parce que j’ai montré que nous avions déjà 𝐶𝐸 au carré et 𝐵𝐸 au carré.

Cependant, si nous avions simplement les longueurs racine de 20 et racine de 80, nous aurions pu travailler cela parce que la racine de 20 au carré serait 20 et la racine de 80 au carré serait juste 80. Et c’est parce que nous avons une règle qui nous dit que si nous avons racine 𝑎 multipliée par racine 𝑎, elle est juste égale à 𝑎. Ainsi, la racine 𝑎 le tout au carré est juste égale à 𝑎. Donc, par conséquent, nous savons que 𝐶𝐸 au carré plus 𝐵𝐸 au carré va être égal à 100, car 20 plus 80 est 100.

Donc, maintenant, ce que nous voulons faire, c’est que nous voulons déterminer ce que 𝐵𝐶 au carré va être parce que si c’est la même chose que 𝐶𝐸 au carré plus 𝐵𝐸 au carré, alors nous avons un triangle rectangle. Eh bien, le carré du côté le plus long 𝐵𝐶 va être égal à 10 au carré. Donc, 𝐵𝐶 au carré va être égal à 100. Eh bien, c’est la même chose que la valeur que nous avons obtenue lorsque nous avons ajouté les carrés des deux côtés les plus courts. Donc, ce que nous avons fait, c’est que nous avons répondu aux critères du théorème de Pythagore parce que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est en fait égal à 𝑐 au carré. Donc, nous pouvons dire oui, le triangle 𝐵𝐸𝐶 est un triangle rectangle.

Donc, dans cette leçon, nous avons couvert différents exemples, montrant différentes compétences. Nous avons donc regardé comment le théorème de Pythagore est formé. Nous avons également examiné la réciproque du théorème de Pythagore et comment il peut être utilisé pour montrer si trois droites peuvent former un triangle rectangle. Nous l’avons également examiné dans cette question dans un format différent impliquant un rectangle et différents triangles.

Ensuite, nous allons jeter un œil à une certaine géométrie des coordonnées.

Deux droites se coupent au point 𝐴 : trois, moins un. Une droite passe par le point 𝐵 : cinq, un, et l’autre passe par le point 𝐶 : moins deux, six. Déterminez les longueurs des segments 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶.

Donc, ce que j’ai fait tout d’abord pour nous aider à comprendre ce qui se passe, c’est que j’ai dessiné un croquis des trois points que nous avons obtenus. Ainsi, pour trouver les longueurs de nos trois segments, ce que nous allons utiliser est ce qu’on appelle la distance entre la formule des points. Donc, ce que la formule de distance indique, c’est que cette distance entre deux points est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. C’est donc la racine carrée de la variation de notre coordonnée 𝑥 au carré plus la variation de notre coordonnée 𝑦 au carré.

Mais d’où vient cette formule ? Eh bien, en fait, c’est une adaptation du théorème de Pythagore. Parce que si nous avons deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, eh bien, la distance entre ces deux points va être, en fait, l’hypotaénuse d’un triangle rectangle. Et c’est parce que si nous regardons ici, si nous formons un triangle rectangle, nous aurions que la variation de 𝑥 serait la longueur inférieure et la variation de 𝑦 serait notre longueur verticale. Donc, notre hypoténuse serait donc notre 𝑑. Alors, dans ce cas, si nous pensions au théorème de Pythagore, cela indique que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Eh bien, notre 𝑑 serait notre 𝑐. Puis, nous pourrions avoir notre 𝑥 deux moins 𝑥 un. Ainsi, notre variation dans 𝑥 pourrait être notre 𝑎. Et notre 𝑦 deux moins 𝑦 un pourrait être notre 𝑏.

Donc, nous pouvons voir qu’en fait, ce serait trouver 𝑑, notre distance, en utilisant le théorème de Pythagore. Parce que si nous voulions savoir ce qu’était 𝑐 ou ce qu’était 𝑑, ce ne serait en fait que la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, c’est ce que nous avions en haut. Excellent ! Bon, maintenant, nous connaissons la formule de distance et d’où elle vient, trouvons les longueurs des segments 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶.

Ainsi, en utilisant cela, ce que nous pouvons dire est que 𝐴𝐵 va être égale à la racine carrée de cinq moins trois le tout au carré plus un moins moins un le tout au carré, ce qui va être la variation dans notre coordonnée 𝑥 au carré plus la variation dans notre coordonnée 𝑦 au carré. Il convient de noter que peu importe dans quelle direction elles vont être, car dans les deux cas, cela nous donnerait le même résultat car elles sont au carré. Ainsi, par exemple, cinq moins trois, c’est deux. Deux au carré, c’est quatre. Trois moins cinq est moins deux. Moins deux au carré est également quatre. Cela va nous donner la racine 𝑎, ce qui se simplifiera à deux racine de deux. Nous l’avons fait en utilisant une relation de radical.

Donc, si nous passons à 𝐴𝐶, ça va être égal à la racine carrée de trois moins moins deux le tout au carré plus moins un moins six le tout au carré. Et cela va nous donner la racine de 74. Puis, 𝐵𝐶 peut également être déterminé en utilisant la même méthode et ça va aussi être la racine de 74.

Alors maintenant, nous avons répondu à ces parties, passons aux parties suivantes de la question.

Donc, en utilisant le théorème de Pythagore, décidez que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle. Et donc les deux droites sont-elles perpendiculaires ?

Comme je l’ai déjà dit, le théorème de Pythagore dit que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑐 est notre côté le plus long, l’hypoténuse. Eh bien, si nous regardons les trois longueurs qui composent notre triangle, nous pouvons voir que la longueur la plus courte doit être deux racine de deux. Par conséquent, le côté le plus long doit être 𝐴𝐶 ou 𝐵𝐶, mais en fait, ils sont de la même longueur. Par conséquent, nous ne pouvons pas avoir d’hypoténuse ou de côté le plus long avec ce triangle.

Donc, nous pouvons dire que le triangle 𝐴𝐵𝐶 n’est pas un triangle rectangle parce que le théorème de Pythagore ne peut pas être rencontré car deux racine de deux le tout au carré plus la racine de 74 le tout au carré ne peut pas être égal à la racine de 74 le tout au carré. Et, de même, les deux droites ne sont pas perpendiculaires l’une à l’autre car elles ne sont pas à des angles droits l’une à l’autre car il n’y a pas de triangle rectangle.

Donc, comme nous sommes à la fin de cette leçon, nous pouvons indiquer les points clés. Tout d’abord, nous avons 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Il s’agit du théorème de Pythagore, où 𝑐 est l’hypoténuse. Et si le théorème de Pythagore n’est pas vrai pour un triangle, il ne peut pas être un triangle rectangle. Et nous savons que la réciproque du théorème de Pythagore peut être utilisée pour déterminer si un triangle a un angle droit ou non. Et enfin, s’il n’y a pas de côté le plus long, un triangle ne peut pas être un triangle rectangle. Et c’est parce qu’il ne répondrait pas aux conditions posées par le théorème de Pythagore, qui ne doit s’appliquer qu’aux triangles rectangles.

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