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Vidéo de question : Calcul de la quantité de mouvement d’une particule en fonction de sa longueur d’onde Physique

Une particule a une longueur d’onde de Broglie de 0,200 nm. Quel est sa quantité de mouvement ? Utilisez une valeur de 6,63 × 10⁻³⁴ J⋅s pour la constante de Planck. Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près.

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Transcription de vidéo

Une particule a une longueur d’onde de Broglie de 0,200 nanomètres. Quel est sa quantité de mouvement ? Utilisez une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-secondes pour la constante de Planck. Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près.

Pour répondre à cette question, il faut d’abord rappeler que la longueur d’onde de Broglie d’une particule et la quantité de mouvement de la particule sont liées par la formule 𝜆 est égale à ℎ divisée par 𝑝, où 𝜆 est la longueur d’onde de Broglie de la particule, ℎ est la constante de Planck , et 𝑝 est la quantité de mouvement de la particule. On nous donne les valeurs de la longueur d’onde et de la constante de Planck. Il suffit donc de réorganiser cette formule pour trouver la quantité de mouvement.

Si on multiplie les deux côtés par la quantité de mouvement et que l’on divise les deux côtés par la longueur d’onde, il nous reste 𝑝 à gauche, et à droite, on se retrouve avec ℎ divisé par 𝜆. Il ne reste plus qu’à substituer avec les valeurs. Avant cela, réécrivons la longueur d’onde sous une forme plus pratique. Notre réponse finale est censée être exprimée en notation scientifique. Aussi, la longueur d’onde est exprimée en nanomètres, qui ne sont pas des unités de base du système international. Convertissons donc 0,200 nanomètres en un nombre en notation scientifique avec des unités de base du système international. Un nanomètre vaut 10 puissance moins neuf mètres. La longueur d’onde de notre particule est donc de 0,200 fois 10 puissance moins neuf mètres.

Ici, ce nombre n’est pas tout à fait en notation scientifique car le premier chiffre est un zéro au lieu d’un nombre supérieur à zéro. Pour changer cela, il faut déplacer la virgule de sorte qu’elle soit après le premier chiffre non nul. Chaque fois que l’on déplace la virgule vers la droite, on doit soustraire un de l’exposant. En effet, déplacer la virgule vers la droite équivaut à multiplier par 10. Et soustraire un de l’exposant équivaut à diviser par 10. Le résultat global est donc multiplié par 10 et divisé par 10, ce qui laisse la valeur réelle inchangée.

Ainsi, en notation scientifique utilisant des unités de base du système international, la longueur d’onde est de deux fois 10 puissance moins 10 mètres. En substituant dans notre formule, on obtient que la quantité de mouvement est de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-secondes divisée par 2,00 fois 10 puissance moins 10 mètres. Ici, on peut vérifier que l’on est sur la bonne voie en regardant les unités, des joules-secondes divisés par des mètres. Puisque les joules sont des kilogrammes mètres carrés par seconde au carré, nos unités sont des kilogrammes mètres carrés par seconde au carré fois secondes par mètre. Les mètres carrés par mètre ne sont que des mètres, et les secondes par seconde au carré ne sont que des seconds puissance moins un. Donc, cela se simplifie en kilogrammes mètres par seconde. Les kilogrammes sont des unités de masse et les mètres par seconde sont des unités de vitesse. Et la quantité de mouvement est la masse fois la vitesse. Donc, les kilogrammes mètres par seconde sont bien des unités qui correspondent à ce que l’on cherche.

Pour la partie numérique de ce calcul, on a 6,63 divisé par 2,00, soit 3,315. Et pour la puissance de 10, 10 puissance moins 34 divisé par 10 puissance moins 10 vaut 10 puissance moins 34 plus 10, ce qui donne 10 puissance moins 24. En combinant notre résultat numérique avec les unités, on obtient 3,315 fois 10 puissance moins 24 kilogrammes-mètres par seconde.

Il ne reste plus qu’à arrondir notre réponse à deux décimales près. Le chiffre de la troisième décimale est cinq. Donc, pour arrondir à deux décimales, on augmente la deuxième décimale de un, ce qui nous donne 3,32. Ainsi, notre réponse finale écrite en notation scientifique à deux décimales près est de 3,32 fois 10 puissance moins 24 kilogrammes par seconde.

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