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Vidéo de question : Calcul d’une comatrice Mathématiques

Déterminez la comatrice de la matrice suivante 𝐴 = [7, −5, −8 et −3, −7, −2 et 0, −4, −8].

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Transcription de vidéo

Déterminez la comatrice de la matrice 𝐴 égale sept, moins cinq, moins huit, moins trois, moins sept, moins deux, zéro, moins quatre, moins huit.

Alors, dans un problème comme celui-ci, où nous cherchons les cofacteurs d’une matrice, il faut d’abord trouver les mineurs de chacun des éléments de cette matrice. D’abord, nous allons simplement rappeler comment trouver le mineur d’un élément. Alors, je viens d’écrire une autre matrice, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖. Alors, pour trouver le mineur de l’élément 𝑎, il faut supprimer la colonne et la ligne où se trouve cet élément 𝑎. Le mineur est alors le déterminant des quatre éléments restants. Donc, c’est le déterminant de la matrice de dimension deux 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Très bien. Nous avons rappelé ce qu’est un mineur. Maintenant, trouvons les mineurs des éléments de la matrice.

Alors maintenant, nous avons une matrice composée des mineurs de la matrice 𝐴, je l’ai appelée 𝐴 indice 𝑚 — donc, nous avons le déterminant de moins sept, moins deux, moins quatre, moins huit. Ensuite, nous avons moins trois, moins deux, zéro, moins huit ; moins trois, moins sept, zéro, moins quatre ; moins cinq, moins huit, moins quatre, moins huit ; sept, moins huit, zéro, moins huit ; sept, moins cinq, zéro, moins quatre ; moins cinq, moins huit, moins sept, moins deux ; sept, moins huit, moins trois, moins deux ; et enfin, le déterminant de sept, moins cinq, moins trois, moins sept.

Maintenant, avant de calculer les déterminants, rappelons la règle des signes. Il y a un signe à mettre devant chaque élément ; nous avons les éléments de la matrice, et les signes qu’ils doivent prendre, plus, moins, plus ; moins, plus, moins ; puis plus, moins, plus. Donc, ce que nous allons faire, c’est placer ces signes devant les différents éléments de la matrice des mineurs. Et en plaçant ces signes devant les différents éléments de la matrice, nous obtenons les cofacteurs de la matrice 𝐴. Il nous suffit donc de calculer chacun des déterminants des sous-matrices.

Et maintenant, rappelons comment se calculent ces déterminants ; nous avons à droite la sous-matrice 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖, calculons le mineur. Alors il est égal à 𝑒𝑖, donc 𝑒 multiplié par 𝑖, moins 𝑓 multiplié par ℎ. Donc, pour donner un exemple, nous allons examiner le premier élément. Nous avons donc moins sept fois moins huit moins moins deux fois moins quatre, ce qui donne 56 moins huit, soit 48. Et ça reste positif puisque, d’après la matrice des signes, le premier élément est un plus. Ensuite, faisons le suivant à titre d’exemple avant de tout remplir.

Donc, pour le prochain élément, nous avons moins trois multiplié par moins huit moins moins deux multiplié par zéro, ce qui donne 24 moins zéro, ce qui est égal à 24. Alors, est-ce qu’on garde ce nombre ? Eh bien non, et c’est là qu’il faut faire attention à ne pas faire d’erreurs de calcul car, d’après la règle des signes, il faut mettre un moins devant le deuxième élément. Donc, le nombre recherché est moins 24. Ensuite, nous trouvons les éléments restants à l’aide de cette méthode. Une fois terminé, nous obtenons la comatrice de la matrice 𝐴, qui est sept, moins cinq, moins huit, moins trois, moins sept, moins deux, zéro, moins quatre, moins huit. Et cette comatrice est la matrice 48, moins 24, 12, moins huit, moins 56, 28, moins 46, 38 et moins 64.

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