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Vidéo de question : Détermination de la position d’une particule dans un système de particules étant donné les coordonnées du centre de masse Mathématiques

Quatre particules se situent aux points (0, 𝑎), (0, 5), (0, 1) et (0, 3). Le centre de masse des quatre particules est le point 𝐺(0, 2). Sachant que les masses des quatre particules sont respectivement 10𝑚, 5𝑚, 4𝑚 et 3𝑚, déterminez la valeur de 𝑎.

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Transcription de vidéo

Quatre particules sont situées aux points zéro, 𝑎 ; zéro, cinq ; zéro, un ; et zéro, trois. Les coordonnées du centre de masse des quatre particules, qu’on va appeler 𝐺, est zéro, deux. Sachant que les masses des quatre particules sont 10𝑚, cinq 𝑚, quatre 𝑚 et trois 𝑚, respectivement, déterminez la valeur de 𝑎.

Pour trouver la valeur 𝑎, on doit combiner les informations que l’on a sur les positions des autres trois particules, les masses des quatre particules et les coordonnées du centre de masse. Puisqu’on nous donne les coordonnées et la masse de chaque particule, cela suggère qu’on peut utiliser la formule du centre de masse, qui relie les coordonnées et la masse des particules à leur centre de masse. Il s’agit de la formule pour la coordonnée 𝑦 du centre de masse indiquée par l’indice 𝑦 sur le côté gauche.

Cette coordonnée est égale à la somme de la masse de chaque particule multipliée par la coordonnée 𝑦 de la position de cette particule divisée par la masse totale de toutes les particules. En remplaçant 𝑦 par une autre coordonnée comme 𝑥 nous donne la formule pour la coordonnée 𝑥 du centre de masse, bien que dans ce cas-là on s’intéresse uniquement à la coordonnée y car les coordonnées 𝑥 des toutes les particules sont nulles.

Donc, on voit que le centre de masse est effectivement la position moyenne pondérée de toutes les particules, où la pondération est par rapport aux masses des particules. Ainsi, le centre de masse est situé logiquement plus proche des particules plus massives et plus éloigné des particules moins massives. De toute façon, avec les informations qui nous sont données, soient la valeur de toutes les masses, la valeur de toutes les coordonnées 𝑦 sauf celle qu’on veut calculer, et la coordonnée 𝑦 du centre de masse, l’on a tout ce qu’il faut dans la formule pour calculer la coordonnée inconnue. Donc, si l’on substitue toutes les valeurs, on va obtenir une équation qu’on peut résoudre pour trouver 𝑎.

On fait la masse fois la coordonnée 𝑦 de chaque particule dans la formule, c’est-à-dire on multiplie 10𝑚 par 𝑎, cinq 𝑚 par cinq, quatre 𝑚 par un et trois 𝑚 par trois. Ainsi, le numérateur de notre fraction est 10𝑚 fois 𝑎 plus cinq 𝑚 fois cinq plus quatre 𝑚 fois un plus trois 𝑚 fois trois. Le dénominateur est simplement la somme de toutes les masses, 10𝑚 plus cinq 𝑚 plus quatre 𝑚 plus trois 𝑚. Enfin, toute cette expression est égale à la coordonnée 𝑦 du centre de masse, qui est deux.

Ensuite on va résoudre cette équation pour calculer 𝑎. On s’aperçoit clairement que même si l’on ne connait pas la valeur pour la masse unitaire 𝑚, elle apparaît à chaque terme dans le numérateur et dans le dénominateur, donc en divisant par 𝑚 en haut et en bas, elle ne figure pas dans la réponse finale. Pour simplifier le numérateur, cinq fois cinq font 25, quatre fois un fait quatre et trois fois trois font neuf. On a donc 25𝑚 plus quatre 𝑚 plus neuf 𝑚, ce qui fait 38𝑚. Au dénominateur, 10 plus cinq plus quatre plus trois est 22. Donc, on a 22𝑚. Enfin, le côté droit de cette équation est toujours deux.

Si l’on multiplie les deux côtés par 22𝑚, sur le côté gauche, 22𝑚 divisé par 22𝑚 est un, et il nous reste 10𝑚 fois 𝑎 plus 38𝑚. Sur le côté droit, deux fois 22𝑚 c’est 44𝑚. En soustrayant 38𝑚 des deux côtés, on obtient 10𝑚 fois 𝑎 égale six 𝑚. Enfin, en divisant les deux côtés par 10𝑚, sur le côté gauche, l’on obtient 10𝑚 divisé par 10𝑚 qui donne un. Donc, on a seulement 𝑎. Et sur le côté droit, on a 𝑚 divisé par 𝑚 est un. Donc, il reste six sur 10 ou 0,6. Finalement, 𝑎, la coordonnée 𝑦 qu’on cherche, est 0,6.

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