Vidéo question :: Intégrer un produit de fonctions trigonométriques Mathématiques

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Laquelle des fonctions suivantes est la primitive de sécante de 𝑥 multipliée par tangente de 𝑥 ? Est-ce la proposition (A), sécante de 𝑥 plus 𝑐 ? La proposition (B) moins cosécante de 𝑥 plus 𝑐. La proposition (C) moins sécante de 𝑥 plus 𝑐. La proposition (D) cosécante de 𝑥 plus 𝑐 ? Ou est-ce la proposition (E), cotangente de 𝑥 plus 𝑐 ?

Dans cette question, on nous demande laquelle des cinq fonctions proposées est la primitive du produit des deux fonctions trigonométriques sécante de 𝑥 multipliée par tangente de 𝑥. Remarquons d’abord que ces fonctions sont exprimées en fonction de la variable 𝑥. Il va donc falloir trouver la primitive par rapport à 𝑥. Il existe plusieurs manières de répondre à cette question. Par exemple, puisqu’il s’agit de trouver la primitive la plus générale d’une fonction, on peut dériver chacune des cinq fonctions proposées pour déterminer laquelle est une primitive de sécante de 𝑥 multipliée par tangente de 𝑥. On peut dériver chacune des cinq fonctions proposées en se remémorant trois dérivées impliquant des fonctions trigonométriques.

On sait que la dérivée de sécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 est sécante de 𝑥 fois tangente de 𝑥. La dérivée de cosécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins cosécante de 𝑥 fois cotangente de 𝑥. La dérivée de cotangente 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins cosécante au carré de 𝑥. Ce qui permet de dériver les cinq fonctions proposées. En particulier, cela permet de voir que sécante de 𝑥 est une primitive de sécante de 𝑥 fois tangente de 𝑥. En termes d’intégrale, cela signifie que l’intégrale de sécante de 𝑥 fois tangente de 𝑥 par rapport à 𝑥 est sécante de 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Voilà une méthode parfaitement valable pour répondre à cette question.

Cependant, elle repose sur l’un de ces deux éléments. Soit il faut calculer la dérivée, soit il faut se souvenir de la formule de la dérivée. Ce sont des méthodes valables pour répondre à la question. Cependant, il peut être utile de le faire directement. Tentons donc de calculer la primitive de la sécante de 𝑥 multipliée par la tangente de 𝑥 par rapport à 𝑥 à l’aide de propriétés et formules d’intégration. Pour ce faire, réécrivons d’abord la fonction en utilisant le fait que la sécante de 𝑥 est égale à un sur cosinus 𝑥 et que tangente de 𝑥 est égal au sinus de 𝑥 divisé par le cosinus de 𝑥. On recherche donc la primitive de un sur le cosinus de 𝑥 multiplié par le sinus de 𝑥 divisé par le cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥. On peut alors simplifier la fonction pour obtenir la primitive de sinus 𝑥 divisée par cosinus au carré de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Ceci n’est pas une primitive facile à calculer. Nous allons donc simplifier cette primitive à l’aide d’un changement de variable. Posons la variable 𝑢 égale cosinus de 𝑥. Rappelons que lorsqu’on intègre par changement de variable, il faut trouver une expression de la différentielle. Pour ce faire, il va falloir dériver 𝑢 par rapport à 𝑥. On sait que la dérivée du cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins le sinus de 𝑥. On obtient que d𝑢 sur d𝑥 est égal à moins le sinus de 𝑥. Or, on sait que d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction. Cependant, on peut la traiter un peu comme une fraction lors d’une intégration par changement de variable. Cela nous permet de trouver une équation sur la différentielle. On obtient que d𝑢 est égal à moins sinus de 𝑥 d𝑥.

Utilisons maintenant le changement de variable 𝑢 pour réécrire la primitive. Tout d’abord, dans le dénominateur de la primitive, remplaçons cosinus 𝑥 par 𝑢. On obtient un nouveau dénominateur pour la fonction, 𝑢 au carré. Ensuite, utilisons notre expression de la différentielle. Cependant, on voit que moins sinus de 𝑥 d𝑥 n’apparaît pas dans la primitive. À la place, il y a sinus de 𝑥 d𝑥. Nous allons donc réécrire la primitive en multipliant la fonction par moins un et la primitive complète par moins un. Cela permet de remplacer moins sinus de 𝑥 d𝑥 par d𝑢. On obtient moins la primitive de un sur 𝑢 au carré par rapport à 𝑢. On peut maintenant calculer cette primitive en se rappelant la primitive d’une puissance.

Rappelons que la primitive d’une puissance nous dit que pour toute constante réelle 𝑛 différente de moins un, la primitive de 𝑢 puissance 𝑛 par rapport à 𝑢 est égale à 𝑢 puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝐶. Ajoutons un à l’exposant de 𝑢 puis divisons par ce nouvel exposant. Pour appliquer la formule de la primitive d’une puissance, il faut utiliser une propriété des puissances pour réécrire la fonction comme 𝑢 puissance moins deux. Il faut ajouter un à l’exposant de 𝑢 et diviser par le nouvel exposant. On trouve 𝑢 puissance moins deux plus un sur moins deux plus un.

N’oublions pas qu’il faut multiplier cette valeur par moins un et 𝐶 est une constante. Or, multiplier cette valeur par moins un ne change pas le fait qu’elle est constante. On peut donc simplement ajouter 𝐶 à la fin de cette expression. On a donc moins un fois 𝑢 puissance moins deux plus un sur moins deux plus un plus 𝐶. Cette expression peut se simplifier car moins deux plus un est égal à moins un. Ce qui donne un facteur commun, moins un, au numérateur et au dénominateur. On se retrouve donc avec 𝑢 puissance moins un plus 𝐶. Or, bien sûr, on sait que 𝑢 puissance moins un est égal à un sur 𝑢. On a donc un sur 𝑢 plus 𝐶.

Enfin, puisque la primitive initiale est donnée en fonction de 𝑥, il faut donner la réponse en fonction de 𝑥. On peut le faire en utilisant notre changement de variable. 𝑢 est égal au cosinus de 𝑥. Cela donne un sur le cosinus de 𝑥 plus 𝐶. Mais rappelez-vous, un sur le cosinus de 𝑥 est égal à sécante de 𝑥. Nous pouvons donc réécrire ceci comme la sécante de 𝑥 plus 𝐶, qui est notre réponse finale.

Nous avons donc vu plusieurs méthodes différentes pour déterminer la primitive de sécante de 𝑥 fois tangente de 𝑥 par rapport à 𝑥. A chaque fois, nous avons trouvé sécante de 𝑥 plus 𝐶, ce qui correspond à la fonction proposée dans (A).