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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une fonction à partir de son graphe en un point de discontinuité amovible si la limite existe Mathématiques

Déterminez la limite, lorsque 𝑥 ⟶ −1 de la fonction représentée par la courbe.

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Transcription de vidéo

Déterminez la limite, lorsque 𝑥 tend vers moins un de la fonction représentée par la courbe.

On nous donne le graphe d’une fonction. Et nous devons déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de cette fonction en utilisant le graphe. Pour commencer, nous pouvons voir que notre axe 𝑦 est appelé 𝑓 de 𝑥. Nous appellerons donc notre fonction 𝑓 de 𝑥. Rappelons maintenant ce que nous entendons par la limite lorsque 𝑥 s’approche de moins un pour la fonction 𝑓 de 𝑥.

La première chose que nous devons rappeler est la notation qui représente cela. Nous représentons cela en disant la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑓 de 𝑥. Et cela signifie que c’est la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers moins un. En d’autres termes, lorsque nos valeurs de la variable d’entrée 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins un, nous voulons voir ce qui arrive aux valeurs de sortie 𝑓 de 𝑥.

Rappelez-vous que nos valeurs de la variable d’entrée 𝑥 seront sur l’axe des 𝑥. Puisque nous voulons savoir ce qui se passe lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins un, marquons cela sur notre axe 𝑥. Et maintenant, nous pouvons voir quelque chose d’intéressant. Nous remarquons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie en 𝑥 est égale à moins un. Ceci est représenté par le cercle creux sur notre courbe.

Nous pourrions penser qu’il s’agit d’un problème. Cependant, rappelez-vous, nous ne sommes intéressés que par ce qui arrive à nos valeurs de sorties quand 𝑥 tend vers moins un. Cela signifie que nous ne sommes intéressés que par ce qui arrive à nos valeurs de sorties lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins un. Notre valeur de 𝑥 ne sera jamais égale à moins un. Nous voulons savoir ce qui se passe autour de cette valeur.

Commençons par voir ce qui se passe lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins un du côté gauche. En d’autres termes, nos entrées seront toutes inférieures à moins un. Pour commencer, nous pouvons voir que si nous donnons à 𝑥 la valeur moins six, alors notre fonction 𝑓 de 𝑥 donne moins cinq. En d’autres termes, 𝑓 de moins six est moins cinq.

Nous pouvons faire la même chose lorsque notre valeur d’entrée est moins quatre. Nous pouvons voir que notre fonction donnera moins trois. En d’autres termes, 𝑓 de moins quatre est égal à moins trois. Et nous pouvons continuer à le faire, en nous rapprochant. Lorsque notre valeur d’entrée est moins deux, notre fonction donne moins un. Eh bien, nous voulons savoir ce qui se passe lorsque nos entrées se rapprochent de plus en plus de la valeur moins un. Et si nous continuons à le faire, nous pouvons voir que nos valeurs de sortie se rapprochent de plus en plus de zéro. Mais ce n’est qu’une partie de l’histoire. Que se passe-t-il lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de la valeur moins un du côté droit ? En d’autres termes, nos entrées seront toutes supérieures à moins un.

Et nous pouvons répondre à cette question exactement de la même manière. Premièrement, si notre valeur d’entrée est six, nous pouvons voir que notre fonction donne sept. Ensuite, lorsque notre valeur d’entrée de 𝑥 est égale à quatre, nous pouvons voir que notre fonction donne cinq. Et nous pouvons continuer à faire cela. Lorsque notre valeur d’entrée de 𝑥 est égale à deux, notre fonction donne trois. Et lorsque notre valeur d’entrée de 𝑥 est égale à zéro, notre fonction donne un. Et si nous continuons à nous rapprocher de 𝑥 égal moins un, nous pouvons voir que, une fois de plus, nos résultats se rapprochent de zéro.

Donc, dans les deux cas, nos résultats se rapprochaient de plus en plus de zéro. Et puisque dans les deux cas nous nous rapprochons de plus en plus de zéro, nous pouvons conclure que cette limite doit être égale à zéro. Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite lorsque 𝑥 s’approche se moins un de la fonction 𝑓 de 𝑥 qui nous est donnée dans le graphique est égale à zéro.

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