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Vidéo de question : Déterminer la dérivée d’une fonction contenant des fonctions trigonométriques et exponentielles à l’aide de la règle du produit Mathématiques

Dérivez la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 𝑒 ^ (𝑥) sec 𝑥.

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Transcription de vidéo

Dérivez la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑒 puissance 𝑥 fois sécante de 𝑥.

Dans la question, on nous demande de dériver 𝑓 de 𝑥 qui est le produit de deux fonctions. Pour dériver le produit de deux fonctions, rappelons la règle de dérivation d’un produit qui dit que si 𝑢 et 𝑣 sont deux fonctions de 𝑥, alors la dérivée de 𝑢 fois 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 prime 𝑣 plus 𝑢𝑣 prime. Ainsi, pour dériver la fonction 𝑓 de 𝑥, nous allons définir 𝑢 égal à 𝑒 puissance 𝑥 et 𝑣 égal à sécante de 𝑥. Ensuite, pour déterminer la fonction 𝑢 prime, nous devons dériver 𝑒 puissance 𝑥. Rappelons que la dérivée de 𝑒 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à elle-même. Ainsi, 𝑢 prime est égal à 𝑒 puissance 𝑥.

Ensuite, pour déterminer 𝑣 prime, nous devons dériver sécante de 𝑥. Rappelons une règle de dérivation des fonctions trigonométriques. La dérivée de sécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sécante de 𝑥 fois tan de 𝑥. Nous pouvons le retrouver en écrivant sécante de 𝑥 comme un divisé par cosinus de 𝑥, puis en utilisant la règle de dérivation d’un quotient. Cependant, il est utile de mémoriser cette formule. En utilisant cela, nous obtenons que 𝑣 prime est égal à sécante de 𝑥 fois tan de 𝑥.

Nous pouvons maintenant appliquer la règle du produit pour calculer la dérivée de 𝑓 de 𝑥. La dérivée est égale à 𝑢 prime 𝑣 plus 𝑢𝑣 prime. En remplaçant les fonctions que nous avons trouvées pour 𝑢, 𝑣, 𝑢 prime et 𝑣 prime, nous obtenons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑒 puissance 𝑥 fois sécante de 𝑥 plus 𝑒 puissance 𝑥 fois sec de 𝑥 fois tangente de 𝑥. Nous pourrions laisser le résultat comme ceci. Aussi, nous pouvons le simplifier en remarquant que nous avons des facteurs communs 𝑒 puissance 𝑥 et sécante de 𝑥 dans les deux termes.

Ainsi, nous factorisons par 𝑒 puissance 𝑥 fois sécante de 𝑥. Le facteur obtenu est alors un plus tangente de 𝑥. Ceci est notre résultat final. Si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑒 puissance 𝑥 fois sécante de 𝑥, alors la dérivée de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥, est égale à 𝑒 puissance 𝑥 fois sécante de 𝑥 multipliée par un plus la tangente de 𝑥.

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