Transcription de la vidéo
Le graphique représente la courbe d'équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. Quel est l'ensemble solution de l'équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro ?
Tout d’abord, nous examinons le graphe et reconnaissons que la courbe est comme une parabole. Une parabole est la forme générale de tous les graphes de second degré. Une parabole est une courbe lisse et symétrique qui se courbe vers le haut ou, comme dans ce cas, vers le bas. L’orientation de la parabole dépend du coefficient dominant de l’équation du second degré qu’elle représente. Les caractéristiques générales d’une parabole comprennent son axe de symétrie, son sommet, l’ordonnée à l’origine et la, ou les, racine(s). Faisons de la place pour examiner chacun de ces attributs. Pour être une parabole, une courbe doit avoir une symétrie parfaite par rapport à une droite verticale, que nous appelons l’axe de symétrie. L’axe de symétrie du graphe qui nous a été donné est la droite verticale représentée par l’équation 𝑥 égale à zéro, c’est-à-dire l’axe des 𝑦.
La prochaine caractéristique identifiable d’une parabole est son sommet. C’est le point tournant qu’on trouve sur l’axe de symétrie. Le sommet d’une fonction du second degré sera soit son point minimum, soit son point maximum, selon que la parabole se courbe vers le haut ou vers le bas. Selon cette définition, nous voyons que le sommet de la parabole qui nous a été donnée est le point zéro, quatre. L’ordonnée à l’origine de toute fonction est la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égale à zéro. En remarquant que notre axe de symétrie est l’équation 𝑥 égale zéro, l’ordonnée 𝑦 du sommet sera notre ordonnée à l’origine.
La dernière caractéristique générale d’une parabole concerne les racines, qui sont les valeurs des abscisses 𝑥 lorsque 𝑦 est égale à zéro. Une parabole peut avoir une, deux ou aucune racine. Nous rappelons que l’équation 𝑦 égale zéro est l’axe des 𝑥 et que l’équation 𝑥 égale zéro est l’axe des 𝑦. Cela signifie que nous pouvons penser à l’ordonnée à l’origine comme le point où la courbe croise l’axe des 𝑦 et les racines comme les points où la courbe croise l’axe des 𝑥. Comme le montrent les deux 𝑥 roses, notre graphe croise l’axe des 𝑥 en deux points distincts : moins deux, zéro et deux, zéro. Ces deux points sont les racines de notre fonction du second degré.
On nous a dit que notre équation est 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. Et on nous demande de trouver l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro. En d’autres termes, cela signifie que nous recherchons l’ensemble solution lorsque 𝑦 égale zéro. Il ne devrait pas être surprenant de réaliser que l’ensemble solution est celui des points d’intersection avec l’axe 𝑥 puisque ce sont les points où la fonction a une valeur 𝑦 égale à zéro.
Nous allons maintenant faire de la place afin de revoir la définition d’un ensemble solution. Nous rappelons que l’ensemble solution 𝑆 de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro. En d’autres termes, ce sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la courbe croise l’axe des 𝑥. Ce sont les racines. Ces valeurs de 𝑥 sont appelées les racines, les zéros ou les solutions de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal zéro. Il y a trois possibilités distinctes quant à ce qui pourrait être contenu dans l’ensemble solution.
Nous allons faire de la place et rappeler ces trois possibilités. Le premier résultat possible est quand il y a deux racines réelles de la fonction, lorsque 𝑥 égal 𝑆 indice un et 𝑥 égal 𝑆 indice deux, où 𝑆 un est différent de 𝑆 deux. Dans ce cas, l’ensemble solution 𝑆 a deux éléments, 𝑆 un et 𝑆 deux. Le deuxième résultat possible est quand il existe une seule racine réelle de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à 𝑆 indice un. Dans ce cas, l’ensemble solution a un élément, 𝑆 un. Enfin, il est possible que notre fonction n’ait pas de racines réelles. Dans ce cas, nous disons que 𝑆 est égal à l’ensemble vide.
Lorsque nous avons la courbe de 𝑓 de 𝑥, il est en fait assez simple de déterminer de laquelle de ces possibilités il s‘agit. Un ensemble solution contenant deux éléments correspond à une parabole qui traverse deux fois l’axe des 𝑥. Un ensemble solution contenant un seul élément correspond à une parabole qui croise l’axe des 𝑥 en un point. Dans ce cas unique, la racine est la même que le sommet de cette parabole, ce qui en fait le point minimum ou maximum de ce graphe. Un ensemble solution sans éléments correspond à une parabole située au-dessus ou en dessous de l’axe des 𝑥 mais qui ne le traverse jamais.
Nous concluons que la fonction a deux racines réelles parce que la parabole traverse l’axe des 𝑥 en deux points. Comme nous l’avons déterminé précédemment, 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro signifie que 𝑦 est égal à zéro, et cela se produit à deux endroits. Les valeurs des abscisses 𝑥 de ces deux points sont les deux éléments de l’ensemble solution. En conclusion, l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro contient les deux racines réelles de la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 comme le montre le graphe qui nous a été donné. Et ces deux racines étaient moins deux et plus deux. Ce sont donc les éléments de notre ensemble solution.
